Obliczenie współczynnika

[wojtek5739g]

Jak rozwiązać to zadanie?

1. Ile wynosi współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{99}}\) wielomianu \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)...(x-99)(x-100)}\) ?

[Janusz Tracz]

Można z wzorów Viète’a zauważyć że suma pierwiastków to \(\displaystyle{ 1+2+3+...+99+100}\) która jest równa \(\displaystyle{ - \frac{a_{99}}{a_{100}}}\) oczywiście \(\displaystyle{ a_{100}=1}\) bo przy \(\displaystyle{ x}\) stoją same jedynki wobec czego stojące przy \(\displaystyle{ x^{99}}\) równa się \(\displaystyle{ a_{99}=-(1+2+3+...+99+100)}\)

[wojtek5739g]

A w jaki sposób obliczyć szybko taką sumę?

[Janusz Tracz]

Z wzoru na sumę ciągu arytmetycznego. \(\displaystyle{ 1+2+3+...+100= \frac{1+100}{2} \cdot 100=5050}\)