Reszta z dzielenia

[makulatura10]

Witam. Mam mały problem. Muszę wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{4n} -2x^{2n+1} + 1}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{3} - x}\) . Wiem, że oba mają wspólne miejsce zerowe równe \(\displaystyle{ 1}\) , oraz domyślam się, że ta reszta wynosi \(\displaystyle{ x^{2} - 2x + 1}\) , tylko kompletnie nie wiem jak ją wyznaczyć. Czy ktoś mógłby mi pomóc?

[Premislav]

Reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego, więc jest postaci \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR}\) .
Zapiszmy \(\displaystyle{ x^{4n}-2x^{2n+1}+1=(x^3-x)Q(x)+ax^2+bx+c}\) . Wielomian \(\displaystyle{ x^3-x=x(x-1)(x+1)}\) ma trzy miejsca zerowe, podstawiamy je kolejno w powyższej równości, uzyskując układ trzech równań z trzema niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b,c}\) .

[makulatura10]

Dziękuję bardzo za pomoc. Nie wiem czy dobrze, ale otrzymałem \(\displaystyle{ a=2,\,b=-2,\,c=1}\) . To poprawny wynik?

-- 23 sty 2018, o 20:09 --

Znalazłem błąd już. Dziękuję jeszcze raz za pomoc.

[PoweredDragon]

Sprawdź czy zgadza się dla jakiegoś trywialnego przypadku, tj dla \(\displaystyle{ n = 1}\) .