Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie n takie, że reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ n ^{3}-n+15}\) przez liczbe \(\displaystyle{ n+2}\) jest równa 1.
Po tym zadaniu, zrozumiałem, że jednak nie rozumiem wielomianów. Mogę tą liczbę przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (n+2)(n ^{2}-2n+3)+9}\). Jeśli podzielimy tą liczbę przez \(\displaystyle{ n+2}\), te wyrażenie będzie równe \(\displaystyle{ n ^{2}-2n+3+ \frac{9}{n+2}}\). W takim razie co jest tą resztą z dzielenie?
Z góry dzięki.

No, jeśli \(\displaystyle{ n+2>9}\), to resztą z dzielenia \(\displaystyle{ (n+2)(n ^{2}-2n+3)+9}\) przez \(\displaystyle{ n+2}\) jest \(\displaystyle{ 9}\), więc takie \(\displaystyle{ n}\) nie spełniają warunków zadania.
W przeciwnym razie po prostu chcemy, by liczba \(\displaystyle{ (n+2)(n ^{2}-2n+3)+9-1=(n+2)(n ^{2}-2n+3)+8}\) dzieliła się bez reszty przez \(\displaystyle{ n+2}\). Pierwszy składnik się dzieli, więc drugi też musi, zaś mamy \(\displaystyle{ 8=2^3}\), tj. wszystkie dodatnie dzielniki liczby \(\displaystyle{ 8}\) to \(\displaystyle{ 1,2,4,8}\), tj. \(\displaystyle{ n+2 \in\left\{ 1,2,4,8\right\}}\). Z tego wychodzi \(\displaystyle{ n=2}\) lub \(\displaystyle{ n=6}\).

Premislav pisze:No, jeśli \(\displaystyle{ n+2>9}\), to resztą z dzielenia \(\displaystyle{ (n+2)(n ^{2}-2n+3)+9}\) przez \(\displaystyle{ n+2}\) jest \(\displaystyle{ 9}\), więc takie \(\displaystyle{ n}\) nie spełniają warunków zadania.

Dzięki. Drugą część rozumiem, ale nie rozumiem, czemu po podzieleniu przez \(\displaystyle{ n+2>9}\) reszta z dzielenia jest \(\displaystyle{ 9}\). Z czego to wynika?

Pierwszy składnik, czyli \(\displaystyle{ (n+2)(n ^{2}-2n+3)}\), dzieli się przez \(\displaystyle{ n+2}\). Zatem reszta z dzielenia \(\displaystyle{ (n+2)(n ^{2}-2n+3)+9}\) przez \(\displaystyle{ n+2}\) jest taka sama, jak reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 9}\) przez \(\displaystyle{ n+2}\).
No ale jeśli \(\displaystyle{ a,b \in \NN^+}\) i \(\displaystyle{ a<b}\), to reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ b}\) wynosi \(\displaystyle{ a}\): \(\displaystyle{ a=0\cdot b+a}\).