Rozkład wielomianu do postaci iloczynowej

[PoweredDragon]

Przewidywanie różnicy kwadratów tutaj rzeczywiście oznacza mniej obliczeń, natomiast w większości przypadków nikt nie zauważy tej różnicy, a mój sposób wbrew pozorom taki czasochłonny nie jest...

[Mariusz M]

Trochę wielomianów rozłożyłem tymi sposobami i na ogół przewidywanie różnicy kwadratów
dawało mniej obliczeń
Spróbuj rozłożyć kilka wielomianów tymi sposobami a sam zobaczysz
Jeśli licząc twoim sposobem nie wyrugujemy wyrazu z \(\displaystyle{ x^3}\)
tzn nie sprowadzimy równania do postaci \(\displaystyle{ y^4+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}=0}\)
to układ równań powstały po porównaniu współczynników będzie wymagał rozwiązania
równania szóstego stopnia sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
przy czym podstawienie sprowadzające nie będzie aż tak łatwo zauważyć

Rogalik też proponował ten sposób i też nie wspomniał o tym że aby zmniejszyć ilość potrzebnych
obliczeń trzeba sprowadzić równanie do postaci \(\displaystyle{ y^4+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}=0}\)

Mnie podoba się sposób z dopełnianiem do wzorów skróconego mnożenia oraz
z wykorzystaniem wyróżnika trójmianu kwadratowego

Staramy się przedstawić wielomian w postaci różnicy kwadratów ale nie wykorzystując
współczynniki nieoznaczone tylko wzór skróconego mnożenia i wyróżnik trójmianu kwadratowego

Grupujemy wyrazy w dwa nawiasy bądź korzystamy z obydwu stron równania
Najpierw dopełniamy wielomian w nawiasie z wyrazami \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\)
do kwadratu sumy bądź różnicy dodając do obydwu nawiasów odpowiedni wyraz
Wielomian w drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym
gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Wprowadzamy do równania parametr aby uzależnić od niego wartość wyróżnika
w przeciwnym razie moglibyśmy otrzymać sprzeczność
Parametr wprowadzamy do równania tak aby wielomian który jest już kwadratem był nim nadal
Dodajemy do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie z wzorami skróconego mnożenia
Po wprowadzeniu parametru przyrównujemy wyróżnik wielomianu będącego trójmianem kwadratowym
do zera i otrzymujemy równanie trzeciego stopnia

Według mnie ten sposób na ogół wymaga mniej obliczeń

[PoweredDragon]

Przepraszam bardzo, ale licząc moim sposobem, mamy dwa równania kwadratowe z danymi współczynnikami, których szukamy zespoloych pierwiastków. Pisałem, że metoda porównywania współczynników jest czasochłonna i nieopłacalna...

Napisałem, że przewidywanie różnicy kwadratów może być równie czasochłonne co rozwiązanie metodą porównywania współczynników. Może dlatego, że pierwsza metoda to czyste obliczenia, a druga to zgadywanie - albo zgadniesz od razu, albo po chwili, albo nigdy.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a_{4}x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=a_{4}\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)\\
x^4+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^3+\frac{a_{2}}{a_{4}}x^2+\frac{a_{1}}{a_{4}}x+\frac{a_{0}}{a_{4}}=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)\\
x^4+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^3+\frac{a_{2}}{a_{4}}x^2+\frac{a_{1}}{a_{4}}x+\frac{a_{0}}{a_{4}}=\left( x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\right)\\
x^4+\frac{a_{3}}{a_{4}}x^3+\frac{a_{2}}{a_{4}}x^2+\frac{a_{1}}{a_{4}}x+\frac{a_{0}}{a_{4}}=x^4+\left( p+r\right)x^3+\left( q+s+pr\right)x^2+\left( ps+qr\right)x+qs\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} p+r=\frac{a_{3}}{a_{4}} \\q+s+pr=\frac{a_{2}}{a_{4}}\\ps+qr=\frac{a_{1}}{a_{4}}\\qs=\frac{a_{0}}{a_{4}} \end{cases}\\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\q+s+p\left(\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \right) =\frac{a_{2}}{a_{4}}\\ps+q\left( \frac{a_{3}}{a_{4}}-p\right) =\frac{a_{1}}{a_{4}}\\qs=\frac{a_{0}}{a_{4}} \end{cases}\\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\s =\frac{a_{2}}{a_{4}}-p\left(\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \right)-q\\p\left(\frac{a_{2}}{a_{4}}-p\left(\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \right)-q \right) +q\left( \frac{a_{3}}{a_{4}}-p\right) =\frac{a_{1}}{a_{4}}\\q\left( \frac{a_{2}}{a_{4}}-p\left(\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \right)-q\right) =\frac{a_{0}}{a_{4}} \end{cases}\\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{a_{2}}{a_{4}}-\frac{a_{3}}{a_{4}} p+p^2-q\\ \frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+p^3-pq+\frac{a_{3}}{a_{4}}q-pq=\frac{a_{1}}{a_{4}}\\\frac{a_{2}}{a_{4}}q-\frac{a_{3}}{a_{4}}pq+p^2q-q^2=\frac{a_{0}}{a_{4}}\end{cases} \\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{a_{2}}{a_{4}}-\frac{a_{3}}{a_{4}} p+p^2-q\\ \frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+p^3-2pq+\frac{a_{3}}{a_{4}}q=\frac{a_{1}}{a_{4}}\\\frac{a_{2}}{a_{4}}q-\frac{a_{3}}{a_{4}}pq+p^2q-q^2=\frac{a_{0}}{a_{4}}\end{cases} \\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{a_{2}}{a_{4}}-\frac{a_{3}}{a_{4}} p+p^2-q\\ \frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+p^3-q\left( 2p+\frac{a_{3}}{a_{4}}\right) =\frac{a_{1}}{a_{4}}\\\frac{a_{2}}{a_{4}}q-\frac{a_{3}}{a_{4}}pq+p^2q-q^2=\frac{a_{0}}{a_{4}}\end{cases} \\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{a_{2}}{a_{4}}-\frac{a_{3}}{a_{4}} p+p^2-q\\q=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right) \\ \frac{a_{2}}{a_{4}}q-\frac{a_{3}}{a_{4}}pq+p^2q-q^2=\frac{a_{0}}{a_{4}}\end{cases} \\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left( \left(\frac{a_{2}}{a_{4}}-\frac{a_{3}}{a_{4}} p+p^2 \right)\left( 2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}\right) -\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}} \right) \right) \\
q=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right) \\ \frac{a_{2}}{a_{4}}q-\frac{a_{3}}{a_{4}}pq+p^2q-q^2=\frac{a_{0}}{a_{4}}
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{2a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2}{a_{4}^2}p-\frac{a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}-p^3+\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2-\frac{a_{2}}{a_{4}}p+\frac{a_{1}}{a_{4}}\\
p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)\\q=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\\ \frac{1}{\left( 2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}\right)^2 }\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)=\frac{a_{0}}{a_{4}} \end{cases}\\
\begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)\\q=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\\ \left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)=\frac{a_{0}}{a_{4}}\left( 2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}\right)^2 \end{cases}\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=\frac{a_{3}}{a_{4}}-p \\ s=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)\\q=\frac{1}{2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}}\left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\\ \left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)-\frac{a_{0}}{a_{4}}\left( 2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}\right)^2=0 \end{cases}\\}\)


Równanie rozwiązujące jest postaci

\(\displaystyle{ \left(p^3-\frac{a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{2}}{a_{4}}p-\frac{a_{1}}{a_{4}}\right)\left(p^3-\frac{2a_{3}}{a_{4}}p^2+\frac{a_{3}^2+a_{4}a_{2}}{a_{4}^2}p+\frac{a_{4}a_{1}-a_{3}a_{2}}{a_{4}^2}\right)-\frac{a_{0}}{a_{4}}\left( 2p-\frac{a_{3}}{a_{4}}\right)^2=0}\)

Trzeba jeszcze wymnożyć te wielomiany

Po wymnożeniu wielomianów otrzymasz równanie szóstego stopnia
które trzeba jeszcze sprowadzić do równania trzeciego stopnia

Wymnażając te wielomiany dostaniemy 20 wyrazów (19 jeśli użyjemy wzoru skróconego mnożenia)
Po redukcji wyrazów podobnych zostanie ich mniej

Może później je wymnożę aby pokazać że sposób który proponujesz
bez pewnych założeń wymaga na ogół więcej obliczeń
niż sprowadzenie wielomianu do różnicy kwadratów

Ja w takich równaniach sprowadzam wielomian do postaci różnicy kwadratów
bez korzystania z współczynników nieoznaczonych tylko z wzorów skróconego mnożenia
oraz z wyróżnika i wtedy jest mniej obliczeń

Sam układ równań wymaga więcej obliczeń niż sprowadzenie do różnicy kwadratów
a jeszcze musisz sprowadzić to równanie do równania trzeciego stopnia

[PoweredDragon]

Zrozum, że to nie jest moja propozycja. To był żart. Przeczytaj mój post jeszcze raz. Pisałem, że rozwiązałem sumą kwadratów, a porównywanie współczynników jest nieopłacalną metodą.