1. Jeżeli liczby a,b są całkowite i dodatnie, to trójmian \(\displaystyle{ x^2 +ax-b}\)
a) ma dwa wymierne miejsca zerowe;
b) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków;
c) przyjmuje wartości niewymierne dla niewymiernych argumentów x;
2. Jeżeli liczby \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-bx+c=0}\), to:
a) \(\displaystyle{ x_1 x_2=c}\)
b) \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=b^2-2c}\)
c) \(\displaystyle{ x_1}\)
(5 zadań) Wielomian 2 stopnia z niewiadoma x, teoretyczne
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
(5 zadań) Wielomian 2 stopnia z niewiadoma x, teoretyczne
Jeżeli chodzi o pierwsze cztery, to gorąco polecam lekturę Kompendium Analizy. Jest tam świetny art Tomka Rużyckiego, z którego musisz wyciągnąć wszystko o wzorach Viete'a. Jeżeli chodzi o ostatnie, to bardzo prawdopodobna jest odpowiedź b), ale nie uzasadnię Ci, dlaczego ta, a nie inne, bo muszę już lecieć do szkółki 
.
.-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
(5 zadań) Wielomian 2 stopnia z niewiadoma x, teoretyczne
Zdaje mi się, że ktoś by wiedział, jak je zrobić, gdyż zadania te to tylko wykorzystanie podstaw.
1) Jeżeli a i b są całkowite dodatnie, to wyróżnik jest zawsze dodatni i równy:
\(\displaystyle{ \Delta=a^{2}+4b}\)
czyli odpowiedź a nie zawsze jest poprawna, gdyż pierwiastek z delty może być niewymierny, za to odpowiedź b jest dobra, co wynika po prostu z analizy wzorów na pierwiastki, a odpowiedź c nie jest poprawna, gdyż można znaleźć nieskończenie wiele liczb niewymiernych x, które wstawione do tego wzoru, dadzą liczby wymierne.
2) Tutaj wprost wzory Viete'a dla tego przypadku:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=b \\ x_{1}x_{2}=c}\)
Wynika z nich, że wszystkie trzy odpowiedzi są poprawne.
3) Tutaj również wzory Viete'a. Dla pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=a \\ x_{1}x_{2}=b}\)
a dla drugiego:
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=c \\ x_{1}^{2}x_{2}^{2}=d}\)
Widzimy wyraźnie, że odpowiedź pierwsza jest jak najbardziej poprawna. Druga oczywiście również, wynika z podstawowej nierówności (ale tylko dla liczb rzeczywistych). A trzecia prawdziwą oczywiście nie jest.
4) Wystarczy odjąć równania stronami i wyznaczyć a względem x. Odpowiedzi się same nasuną.
5) Wiemy, że funkcja jest nieparzysta, gdy współczynniki przy parzystych potęgach są równe 0. Co do pozostałych, to jakoś nic nie przychodzi mi na myśl.
1) Jeżeli a i b są całkowite dodatnie, to wyróżnik jest zawsze dodatni i równy:
\(\displaystyle{ \Delta=a^{2}+4b}\)
czyli odpowiedź a nie zawsze jest poprawna, gdyż pierwiastek z delty może być niewymierny, za to odpowiedź b jest dobra, co wynika po prostu z analizy wzorów na pierwiastki, a odpowiedź c nie jest poprawna, gdyż można znaleźć nieskończenie wiele liczb niewymiernych x, które wstawione do tego wzoru, dadzą liczby wymierne.
2) Tutaj wprost wzory Viete'a dla tego przypadku:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=b \\ x_{1}x_{2}=c}\)
Wynika z nich, że wszystkie trzy odpowiedzi są poprawne.
3) Tutaj również wzory Viete'a. Dla pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=a \\ x_{1}x_{2}=b}\)
a dla drugiego:
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=c \\ x_{1}^{2}x_{2}^{2}=d}\)
Widzimy wyraźnie, że odpowiedź pierwsza jest jak najbardziej poprawna. Druga oczywiście również, wynika z podstawowej nierówności (ale tylko dla liczb rzeczywistych). A trzecia prawdziwą oczywiście nie jest.
4) Wystarczy odjąć równania stronami i wyznaczyć a względem x. Odpowiedzi się same nasuną.
5) Wiemy, że funkcja jest nieparzysta, gdy współczynniki przy parzystych potęgach są równe 0. Co do pozostałych, to jakoś nic nie przychodzi mi na myśl.