Równanie 4 stopnia z pochodnych

[truskawak]

Równanie wynosi:
\(\displaystyle{ -x ^{4} + 4x ^{3} - 6x^{2} + 4x - 0,9774 = 0}\)
pochodna wyszła: \(\displaystyle{ -4x^{3} + 12x^{2} - 12x +4}\)
\(\displaystyle{ x}\) musi być między \(\displaystyle{ 0}\) a \(\displaystyle{ 1}\)
i dalej wiem, że się liczyło jakieś \(\displaystyle{ W}\) od liczb, ale nie wiem skąd wziąć te liczby, nigdzie nie mogę znaleźć informacji co dalej.

[Dilectus]

Napisz, proszę, na czym polega Twój problem, po co liczysz pochodną itd.

Masz równanie (wielomian stopnia czwartego), którego pierwiastki chcesz zapewne znaleźć. Ale po co pochodna?

[truskawak]

Po podliczeniu pochodnej \(\displaystyle{ x}\) podstawiało się do jakieś liczby, nie pamiętam skąd je wziąć. Następnie była tabelka, a następnie druga tabelka do ekstremów funkcji, gdzie rośnie, gdzie maleje, ale nie pamiętam szczegółów i jak dalej leciało.

[PoweredDragon]

Jak chcesz szukać ekstrema, to liczysz pochodną i jej miejsca zerowe, a potem robisz tabelkę. Jak "po lewej" stronie miejsca zerowego wartość pochodnej jest ujemna, a po prawej dodatnia, to jest to maksimum lokalne funkcji pierwotnej. Jak na odwrót to minimum.


EDIT:
Let me get this straight:
Jeśli piszę "po lewej stronie" to mam na myśli "jeśli po lewej stronie miejsca zerowego A jest miejsce zerowe B, to "po lewej od B" oznacza "pomiędzy A i B"

[Mariusz M]

Dilectus, Jeśli to ma być z użyciem pochodnych, to pewnie chodzi o przybliżoną metodę Newtona.
Z wpisu 27 grudnia 2017, 17:34 można by wywnioskować, że chce cały przebieg zmienności funkcji.
Wielomian ten można rozłożyć bez korzystania z metod numerycznych.
Być może funkcje trygonometryczne i do nich odwrotne będą przydatne.

\(\displaystyle{ -x ^{4} + 4x ^{3} - 6x^{2} + 4x - 0,9774 = 0\\
10000x ^{4}-40000x^3+60000x^2-40000x+9774=0\\
\left( 10000x ^{4}-40000x^3\right)-\left(-60000x^2+40000x-9774 \right) =0\\
\left( 10000x ^{4}-40000x^3+40000x^2\right)-\left(-20000x^2+40000x-9774 \right) =0\\
\left( 100x^2-200x\right)^2-\left(-20000x^2+40000x-9774 \right) =0\\
\left( 100x^2-200x+\frac{y}{2}\right)^2-\left(\left(100y-20000\right)x^2+\left(-200y+40000\right)x+\frac{y^2}{4}-9774 \right) =0\\}\)

Wielomian w drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym, gdy jego wyróżnik będzie równy zero.
Tutaj akurat łatwo zgadnąć, jaką liczbę wstawić za \(\displaystyle{ y}\) .

\(\displaystyle{ y=200\\
\left( 100x^2-200x+\frac{y}{2}\right)^2-\left(\left(100y-20000\right)x^2+\left(-200y+40000\right)x\frac{y^2}{4}-9774 \right) =0\\
\left(100x^2-200x+100 \right)^2-226=0\\
\left(100x^2-200x+100- \sqrt{226} \right)\left(100x^2-200x+100+ \sqrt{226}\right)=0}\)

-- 31 grudnia 2017, 18:39 --

Tutaj było łatwo zgadnąć, jaką wartość powinna przyjąć wprowadzona zmienna bo widać było, jaka liczba zeruje współczynniki przy \(\displaystyle{ x^2}\) oraz przy \(\displaystyle{ x}\) w wielomianie który jest trójmianem kwadratowym.
Podobna sytuacja byłaby gdybyś zauważył(a), że jakaś liczba zeruje współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) oraz przy wyrazie wolnym.
Przed wprowadzeniem nowej zmiennej można też sprawdzić czy nie wyróżnik nie jest zerowy.

Jak chcesz poćwiczyć rozkład wielomianu czwartego stopnia na czynniki to kiedyś wyklikałem programik w Javie losujący współczynniki.

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

package coeffQuartics;
import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.event.ActionEvent;
import java.awt.event.ActionListener;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.File;
import java.io.FileWriter;
import java.io.IOException;
import java.util.Random;

import javax.swing.JButton;
import javax.swing.JLabel;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.JRadioButton;
import javax.swing.JScrollPane;
import javax.swing.JTable;
import javax.swing.SwingConstants;
import javax.swing.WindowConstants;
import javax.swing.table.DefaultTableModel;
import javax.swing.table.TableModel;
import javax.swing.SwingUtilities;


/**
* This code was edited or generated using CloudGarden's Jigloo
* SWT/Swing GUI Builder, which is free for non-commercial
* use. If Jigloo is being used commercially (ie, by a corporation,
* company or business for any purpose whatever) then you
* should purchase a license for each developer using Jigloo.
* Please visit www.cloudgarden.com for details.
* Use of Jigloo implies acceptance of these licensing terms.
* A COMMERCIAL LICENSE HAS NOT BEEN PURCHASED FOR
* THIS MACHINE, SO JIGLOO OR THIS CODE CANNOT BE USED
* LEGALLY FOR ANY CORPORATE OR COMMERCIAL PURPOSE.
*/
public class NewJFrame extends javax.swing.JFrame {

	{
		//Set Look & Feel
		try {
			javax.swing.UIManager.setLookAndFeel("com.sun.java.swing.plaf.windows.WindowsLookAndFeel");
		} catch(Exception e) {
			e.printStackTrace();
		}
	}

	private JRadioButton jRadioButton1;
	private JPanel jPanel1;
	private JScrollPane jScrollPane1;
	private JButton jButton1;
	private JTable jTable1;
	private JRadioButton jRadioButton3;
	private JRadioButton jRadioButton2;

	/**
	* Auto-generated main method to display this JFrame
	*/
	public static void main(String[] args) {
		SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
			public void run() {
				NewJFrame inst = new NewJFrame();
				inst.setLocationRelativeTo(null);
				inst.setVisible(true);
			}
		});
	}
	
	public NewJFrame() {
		super();
		initGUI();
	}
	
	private void initGUI() {
		try {
			setTitle("Współczynniki wielomianu czwartego stopnia");
			setDefaultCloseOperation(WindowConstants.EXIT_ON_CLOSE);
			{
				jPanel1 = new JPanel();
				getContentPane().add(jPanel1, BorderLayout.CENTER);
				jPanel1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(392, 266));
				jPanel1.setLayout(null);
				{
					jRadioButton1 = new JRadioButton();
					jPanel1.add(jRadioButton1);
					jRadioButton1.setText("Pierwiastki rzeczywiste");
					jRadioButton1.setBounds(12, 4, 196, 18);
					jRadioButton1.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jRadioButton1ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
				{
					jRadioButton2 = new JRadioButton();
					jPanel1.add(jRadioButton2);
					jRadioButton2.setText("Iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych");
					jRadioButton2.setBounds(12, 29, 272, 18);
					jRadioButton2.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jRadioButton2ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
				{
					jRadioButton3 = new JRadioButton();
					jPanel1.add(jRadioButton3);
					jRadioButton3.setText("Losowe współczynniki");
					jRadioButton3.setBounds(12, 54, 210, 21);
					jRadioButton3.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jRadioButton3ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
				{
					jScrollPane1 = new JScrollPane();
					jPanel1.add(jScrollPane1);
					jScrollPane1.setBounds(7, 95, 375, 40);
					{
						TableModel jTable1Model = 
								new DefaultTableModel(
										new String[][] { { "", "" } },
										new String[] { "a4", "a3","a2","a1","a0" });
						((DefaultTableModel) jTable1Model).setColumnCount(5);
						((DefaultTableModel) jTable1Model).setRowCount(1);
						jTable1 = new JTable();
						jScrollPane1.setViewportView(jTable1);
						jTable1.setBounds(27, 132, 365, 16);
						jTable1.setModel(jTable1Model);
						jTable1.setCellSelectionEnabled(true);
						jTable1.setColumnSelectionAllowed(true);
						jTable1.getTableHeader().setOpaque(true);
						jTable1.getTableHeader().setBounds(0, 0, 375, 30);
						JLabel renderer = ((JLabel)jTable1.getDefaultRenderer(Object.class));
				 renderer.setHorizontalAlignment(SwingConstants.CENTER);
					}
					
				}
				{
					jButton1 = new JButton();
					jPanel1.add(jButton1);
					jButton1.setText("Losuj");
					jButton1.setBounds(155, 177, 73, 28);
					jButton1.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jButton1ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
			}
			pack();
			setSize(400, 300);
		} catch (Exception e) {
			e.printStackTrace();
		}
	}
	
	private void jRadioButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jRadioButton1.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jRadioButton1.actionPerformed
		jRadioButton1.setSelected(true);
		jRadioButton2.setSelected(false);
		jRadioButton3.setSelected(false);
	}
	
	private void jRadioButton2ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jRadioButton2.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jRadioButton2.actionPerformed
		jRadioButton1.setSelected(false);
		jRadioButton2.setSelected(true);
		jRadioButton3.setSelected(false);
	}
	
	private void jRadioButton3ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jRadioButton3.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jRadioButton3.actionPerformed
		jRadioButton1.setSelected(false);
		jRadioButton2.setSelected(false);
		jRadioButton3.setSelected(true);
	}
	
	private void jButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jButton1.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jButton1.actionPerformed
		 String lf="coeff.txt";
		 File f=new File(lf);
		 int p,q,k;
	 Random r=new Random();
	 double [] a=new double[3];
	 double [] b=new double[3];
	 double [] c=new double[5];
	 double [] x=new double[5];
	 
	 if(jRadioButton1.isSelected()){
	 x[0]=1.0;
	 for(int i=1;i<=4;i++){
	 p=(1-2*r.nextInt(2))*r.nextInt(10);
	 q=1+r.nextInt(10);
	 x[i]=(double)(p)/q;
	 x[0]*=(double)q;
	 }
	 for(int i=0;i<=4;i++)
	 if(i%2==0) 
	 {
	 	jTable1.setValueAt(x[0]*viete(4,i,x),0 ,i);
	 	c[4-i]=x[0]*viete(4,i,x);
	 }
	 else 
	 {
	 	jTable1.setValueAt(-x[0]*viete(4,i,x),0 ,i);	
	 	 c[4-i]=-x[0]*viete(4,i,x);
	 }
	 
	 }
	 if(jRadioButton2.isSelected()){
	 a[2]=(1+r.nextInt(9))*(1-2*r.nextInt(2));
	 a[1]=r.nextInt(10)*(1-2*r.nextInt(2));
	 a[0]=r.nextInt(10)*(1-2*r.nextInt(2));
	 b[2]=(1+r.nextInt(9))*(1-2*r.nextInt(2));
	 b[1]=r.nextInt(10)*(1-2*r.nextInt(2));
	 b[0]=r.nextInt(10)*(1-2*r.nextInt(2));
	 c[4]=a[2]*b[2];
	 c[3]=a[2]*b[1]+a[1]*b[2];
	 c[2]=a[2]*b[0]+a[1]*b[1]+a[0]*b[2];
	 c[1]=a[1]*b[0]+a[0]*b[1];
	 c[0]=a[0]*b[0];
	 for(k=0;k<=4;k++)
	 jTable1.setValueAt(c[k],0,4-k);
	 
	 }
	 if(jRadioButton3.isSelected()){
	 c[4]=(1+r.nextInt(9))*(1-2*r.nextInt(2));
	 for(k=3;k>=0;k--)
	 c[k]=r.nextInt(10)*(1-2*r.nextInt(2));
	 for(k=0;k<=4;k++) 
	 jTable1.setValueAt(c[k],0,4-k);
	 }
	 try {
			FileWriter stf=new FileWriter(f,true);
			BufferedWriter bstf=new BufferedWriter(stf);
			bstf.write(String.valueOf(jRadioButton1.isSelected())+" "+String.valueOf(jRadioButton2.isSelected())+" "+String.valueOf(jRadioButton3.isSelected()));
			bstf.newLine();
			for(int i =4;i>=0;i--){
				bstf.write("c["+i+"]="+Double.toString(c[i]));
				bstf.newLine();
			}
			bstf.close();
			stf.close();
		} catch (IOException e) {
			// TODO Auto-generated catch block
			e.printStackTrace();
		} 
	}

	 private double viete(int n,int k,double[] x){
	 if(k==0) return 1.0;
	 else if (n==0) return 0.0;
	 else return viete(n-1,k,x)+viete(n-1,k-1,x)*x[n];
	 }

}

Jeśli chcesz poczytać trochę o sposobach rozkładania takich wielomianów, to możesz o tym poczytać:

Kod: Zaznacz cały

http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1342/zip/

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf