Reszta z wielomianu bez dzielenia.

[sabfil]

Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu:

\(\displaystyle{ W\left( x\right) = 2x ^{47} -3x ^{5} +4}\)

przez wielomian:

\(\displaystyle{ Q\left( x\right) = x ^{4} -1}\)

Czy jest prostszy/szybszy sposób na rozwiązanie niż podstawienie tych \(\displaystyle{ 4}\) pierwiastków \(\displaystyle{ Q}\) i obliczenie układu \(\displaystyle{ 4}\) równań z \(\displaystyle{ 4}\) niewiadomymi?

Pozdrawiam

[janusz47]

W ciele liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ W(x)= 2x^{47} -3x^5 +4 = S(x)\cdot Q(x) + R(x).}\)

\(\displaystyle{ W(x)=2x^{47} -3x^5 +4 = S(x) \cdot(x+1)(x-1)(x+i)(x-i) + ax^3 +bx^2 +cx +d}\) (1)

Podstaw kolejno:

\(\displaystyle{ x_{1} =-1, \ \ x_{2}=1, \ \ x_{3}= -i, \ \ x_{4}= i}\) do równania (1).

Ułóż układ czterech równań liniowych o czterech niewiadomych wartościach współczynników \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) wielomianu reszty \(\displaystyle{ R.}\)

Rozwiąż ten układ równań.

[a4karo]

W ciele liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ W(x)= 2x^{47} -3x^5 +4 = S(x)\cdot Q(x) + R(x).}\)

\(\displaystyle{ W(x)=2x^{47} -3x^5 +4 = S(x) \cdot(x+1)(x-1)(x+i)(x-i) + ax^3 +bx^2 +cx +d}\) (1)

Podstaw kolejno:

\(\displaystyle{ x_{1} =-1, \ \ x_{2}=1, \ \ x_{3}= -i, \ \ x_{4}= i}\) do równania (1).

Ułóż układ czterech równań liniowych o czterech niewiadomych wartościach współczynników \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) wielomianu reszty \(\displaystyle{ R.}\)

Rozwiąż ten układ równań.

Przeczytałeś post, na który odpowiadasz?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ W\left( x\right) = 2x ^{47} -3x ^{5} +4}\)

Tutaj można trochę pogrupować i skorzystać z wzorów skróconego mnożenia


\(\displaystyle{ W\left( x\right) = 2x ^{47}-2x^{3}+2x^{3} -3x ^{5}+3x-3x +4\\
W\left( x\right) =2x^3\left( x^{44}-1\right)-3x\left( x^4-1\right) +2x^3-3x +4\\}\)

a zatem naszą resztą jest

\(\displaystyle{ R\left( x\right)=2x^3-3x +4}\)