Ciekawe minimum

[mol_ksiazkowy]

Wyznaczyc minimum wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n-1} a_j^2}\) dla wszystkich wielomianów \(\displaystyle{ x^n +a_{n-1}x^{n-1}+ ... +a_1x +1}\) które mają co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, zaś \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą parzystą

[Zahion]

wskazówka:    

Zauważyć, że dla pierwiastka \(\displaystyle{ q}\) mamy \(\displaystyle{ (q^{n} + 1)^{2} = \left( \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}q^{i}\right)^{2} \le \left( \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}^{2} \right)\left( \sum_{i=1}^{n-1}q^{2i} \right)}\) i szacować odpowiednio prawą stronę.