Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych taki, że
\(\displaystyle{ W(a)=b\\
W(b)=c\\
W(c)=a}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są różnymi liczbami całkowitymi?
Wielomian o współczynnikach całkowitych
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 42 razy
Wielomian o współczynnikach całkowitych
Ostatnio zmieniony 31 gru 2017, o 01:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wielomian o współczynnikach całkowitych
Przypuśćmy, że taki wielomian istnieje. Znany i bardzo prosty lemat: dla wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych i dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\) liczba \(\displaystyle{ a-b}\) dzieli \(\displaystyle{ W(a)-W(b)}\). Wykorzystaj ten lemat, by dostać podzielności:
\(\displaystyle{ (a-b)|(b-c), \ (b-c)|(c-a), \ (c-a)|(a-b)}\)
Wnioski
\(\displaystyle{ (a-b)|(b-c), \ (b-c)|(c-a), \ (c-a)|(a-b)}\)
Wnioski