Wielomian o współczynnikach całkowitych

[Ogorek00]

Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych taki, że

\(\displaystyle{ W(a)=b\\
W(b)=c\\
W(c)=a}\)

gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są różnymi liczbami całkowitymi?

[Premislav]

Przypuśćmy, że taki wielomian istnieje. Znany i bardzo prosty lemat: dla wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) o współczynnikach całkowitych i dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ}\) liczba \(\displaystyle{ a-b}\) dzieli \(\displaystyle{ W(a)-W(b)}\). Wykorzystaj ten lemat, by dostać podzielności:
\(\displaystyle{ (a-b)|(b-c), \ (b-c)|(c-a), \ (c-a)|(a-b)}\)
Wnioski