Pierwiastki zespolone wielomianu oraz reszta z dzielenia

[nicrovishion]

1. Znaleźć wszystkie pierwiastki zespolone wielomianu: \(\displaystyle{ (z ^{2} -1)(z ^{2} +1) ^{3} ((z ^{2} +9) ^{4}}\) Chciałem skorzystać ze wzoru de Moivre'a, z tym, że wydaje mi się to dość pracochłonne, czy jest jakiś inny sposób?
2. Nie wykonując dzieleń, wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q jeśli:
\(\displaystyle{ a) P(x)=x ^{2007} + 3x + 2008}\), \(\displaystyle{ Q(x)=x ^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ b) P(x)=x ^{2006} + x ^{1002} -1}\), \(\displaystyle{ Q(x)=x ^{4} +1}\)
\(\displaystyle{ c) P(x)=x ^{444} + x ^{111}+x-1}\), \(\displaystyle{ Q(x)= ( x ^{2} +1)^{2}}\)

[kerajs]

1)
\(\displaystyle{ (z ^{2} -1)(z ^{2} +1) ^{3} ((z ^{2} +9) ^{4}=(z-1)(z+1)(z-i)^3(z+i)^3(z-i3)^4(z+i3)^4}\)

2a)

\(\displaystyle{ P(x)=F(x)Q(x)+ax+b\\
\begin{cases} P(i)=ia+b \\ P(-i)=-ia+b \end{cases}}\)

[nicrovishion]

W 1 zadaniu doszedłem do tego samego zapisu. W drugim natomiast mamy do czynienia z wielomianem rzeczywistym.

[kerajs]

W 1 zadaniu doszedłem do tego samego zapisu.

więc już znasz wszystkie pierwiastki.

W drugim natomiast mamy do czynienia z wielomianem rzeczywistym.

Nie wiem co chciałeś w tym zdaniu przekazać.

2a)dokończę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -i+3i+2008=ai+b \\ i-3i+2008=-ai+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=2008 \end{cases} \\
R(x)=2x+2008}\)


Ty dokończ te przykłady:
2b)
dodałbym podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t}\)
\(\displaystyle{ P(t)=t^{1003}+t^{501}-1\\
Q(t)=t^2+1\\
P(t)=F(t)Q(t)+at+b\\
\begin{cases} P(i)=ia+b \\ P(-i)=-ia+b \end{cases}}\)

2c)
\(\displaystyle{ P(x)=F(x)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d \wedge \\ \wedge P'(x)=F'(x)Q(x)+F(x)Q'(x)+3ax^2+2bx+c\\
\begin{cases} P(i)=ai^3+bi^2+ci+d \\ P(-i)=a(-i)^3+b(-i)^2+c(-i)+d \\ P'(i)=3ai^2+2bi+c \\ P'(-i)=3a(-i)^2+2b(-i)+c \end{cases}}\)

[nicrovishion]

więc już znasz wszystkie pierwiastki.

Skoro wielomian jest 16 stopnia, to chyba powinno być 16 pierwiastków, tak? Przepraszam, ale po Twoim zapisie tego nie widzę.

Nie wiem co chciałeś w tym zdaniu przekazać.

Ano to, że jest to wielomian, którego dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych a nie zespolonych. Wydaje mi się, że jest to istotne.

[NogaWeza]

Pierwiastki liczy się z krotnościami, przykładowo \(\displaystyle{ (z - i)^3}\) daje trzy pierwiastki: \(\displaystyle{ z_1 = i, z_2 = i, z_3=i}\), a nie jeden.