Wyznaczyć pierwiastki wielomianu, czy popełniłem błąd?.

[Jakubb21]

Liczba \(\displaystyle{ 1-4j}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ V(x)= x^{5} - 11x^{4}+ 60x^{3}-220x^{2}+459x-289}\) . Wyznaczyć pozostałe pierwiastki wielomianu.

Proszę o sprawdzenie i ewentualne naprostowanie moich obliczeń.

\(\displaystyle{ x_{1} = 1-4j}\), więc wiemy że \(\displaystyle{ x_{2} = 1+4j}\).
Później rozpisałem to tak: \(\displaystyle{ W(x)=(x- x_{1}) \cdot (x- x_{2} ) \cdot Q(x)}\)
Po podstawieniu za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) do \(\displaystyle{ W(x)=(x- x_{1}) \cdot (x- x_{2} )}\) wyszło mi: \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-2x+16}\).
Teraz po podzieleniu tego przez nasz początkowy wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\) wychodzi mi: \(\displaystyle{ x^{3}-9 x^{2} +26x-24}\) i dalej nie wiem jak wyliczyć z tego \(\displaystyle{ x_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{4}}\), ponieważ po uproszczeniu otrzymuje: \(\displaystyle{ x^{2} \cdot (x-9)+2 \cdot (13x-12)}\) .
Prosił bym o sprawdzenie moich obliczeń i ewentualną pomoc w dalszej części zadania.

[janusz47]

\(\displaystyle{ W_{1}(2) = 0.}\)

Twierdzenie Bezout: podzielenie przez dwumian \(\displaystyle{ (x-2).}\)

[kerajs]

Po podstawieniu za \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) do \(\displaystyle{ W(x)=(x- x_{1}) \cdot (x- x_{2} )}\) wyszło mi: \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-2x+16}\).
Teraz po podzieleniu tego przez nasz początkowy wielomian \(\displaystyle{ V(x)}\) wychodzi mi: \(\displaystyle{ x^{3}-9 x^{2} +26x-24}\)

Mnie wychodzi:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-(1-4j))(x-(1+4j))=x^2-2x+17\\
V(x)= x^{5} - 11x^{4}+ 60x^{3}-220x^{2}+459x-289=\\=(x^2-2x+17)(x^3-9x^2+25x-17)=(x^2-2x+17)(x-1)(x^2-8x+17)=\\=(x^2-2x+17)(x^3-9x^2+25x-17)=(x^2-2x+17)(x-1)((x-4)^2+1)=\\=(x-1+4j))(x-1-4j)(x-1)(x-4+j)(x-4-j)}\)

[nearless]

\(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+26x-24}\) Możesz tutaj również zastosować twierdzenie o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu. Podpowiem, że po podstawieniu za \(\displaystyle{ 2}\) wielomian daje \(\displaystyle{ 0}\) czyli dzielisz to przez \(\displaystyle{ x-2}\). Delta i miejsca zerowe.

Edit. obliczeń nie sprawdzałem.

[Jakubb21]

Już wiem gdzie się pomyliłem. Przy liczeniu \(\displaystyle{ W(x)}\) nie dodałem \(\displaystyle{ 1}\) i zamiast \(\displaystyle{ 16}\) jest \(\displaystyle{ 17}\). Teraz wszystko jest już ok. Dziękuje kerajs