Przedstaw wielomian w postaci iloczynu.
-
Jakubb21
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 1 cze 2017, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
Przedstaw wielomian w postaci iloczynu.
Wielomian \(\displaystyle{ V(x)= x^{4}- x^{3}+ x^{2}-x+1}\) przedstawić w postaci iloczynu rzeczywistych wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Przedstaw wielomian w postaci iloczynu.
Zauważ, że
\(\displaystyle{ (x+1) V(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = x^5 + 1.}\)
Czyli
\(\displaystyle{ V(x) = (x - \omega_1) (x - \omega_2) (x- \omega_3) (x - \omega_4),}\)
gdzie \(\displaystyle{ \omega_1, \ldots, \omega_4}\) są pierwiastkami zespolonymi z \(\displaystyle{ -1}\) za wyjątkiem pierwiastka rzeczywistego \(\displaystyle{ -1}\). Sparuj teraz te jednomiany w taki sposób, aby otrzymać dwa wielomiany rzeczywiste.
Można również podejść do tego naiwnie i rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ V(x) = (x^2 + a_1 x + a_0) (x^2 + b_1 x + b_0)}\)
\(\displaystyle{ (x+1) V(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = x^5 + 1.}\)
Czyli
\(\displaystyle{ V(x) = (x - \omega_1) (x - \omega_2) (x- \omega_3) (x - \omega_4),}\)
gdzie \(\displaystyle{ \omega_1, \ldots, \omega_4}\) są pierwiastkami zespolonymi z \(\displaystyle{ -1}\) za wyjątkiem pierwiastka rzeczywistego \(\displaystyle{ -1}\). Sparuj teraz te jednomiany w taki sposób, aby otrzymać dwa wielomiany rzeczywiste.
Można również podejść do tego naiwnie i rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ V(x) = (x^2 + a_1 x + a_0) (x^2 + b_1 x + b_0)}\)