Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 1 cze 2017, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 17 razy
Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Rozwiązać takie oto równanie. Proszę o wyszczególnienie poszczególnych etapów.
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{3}-9x^{2}+28x-20}\)
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{3}-9x^{2}+28x-20}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Najpierw użyj twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych; sprawdzając przypadki, dostrzeżesz, że \(\displaystyle{ Q(1)=0}\). A dalej podziel ten wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\) (np. pisemnie) i dostaniesz do rozłożenia trójmian kwadratowy (delta itd.).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Premislav, twierdzisz że nie lubisz zgadywania a tutaj je proponujesz
Do tego równania można podejść na dwa sposoby które uogólniają się
na równanie czwartego stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+28x-20=0}\)
Zacznijmy od wyrugowania wyrazu z \(\displaystyle{ x^2}\)
Możemy użyć albo podstawienia albo schematu Hornera
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} &1&-9&28&-20\\ \hline 3&1&-6&10&10 \\ \hline 3&1&-3&1& \\ \hline 3&1&0&&\\ \hline 3&1&&&\\ \hline \end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ \left( x-3\right)^3+\left( x-3\right)+10=0}\)
1.
\(\displaystyle{ y=x-3\\
y^3+y+10=0\\
y^3=-y-10\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3-y-10\\
\left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-1\right)+z^3-10\\
3yz+3z^2-1=0\\
3z\left( y+z\right)-1=0\\
y+z=\frac{1}{3z}\\
\frac{1}{27z^3} =z^3-10\\
z^3-10-\frac{1}{27z^3}=0\\
z^6-10z^3-\frac{1}{27}=0\\
\left( z^3-5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\
\left( z^3-\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( z^3-\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\
\left( z^3-\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( z^3-\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\
z=\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}} \\
y+z=\frac{1}{3z}\\
y=-z+\frac{1}{3z}\\
y=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}\\
x=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}+3\\
x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right) -\frac{1}{3+2 \sqrt{3} }+3\\
x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right)-\frac{1}{3}\left( 3-2 \sqrt{3} \right)+3\\
x=-\frac{1}{3}\left( \left(3-2 \sqrt{3} \right)+\left( 3+2 \sqrt{3} \right) \right)+3\\
x=-2+3\\
x=1\\}\)
2.
\(\displaystyle{ y=x-3\\
y^3+y+10=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+\left( u+v\right)+10=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+\left( u+v\right)+10=0\\
u^3+v^3+10+3u^2v+3uv^2+\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+10+3uv\left(u+v \right) +\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+10+\left( u+v\right)\left( 3uv+1\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+10=0 \\ 3uv+1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ uv=-\frac{1}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ u^3v^3=-\frac{1}{27} \end{cases} \\
t^2+10t-\frac{1}{27}=0\\
\left( t+5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\
\left( t+\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( t+\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\
\left( t+\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( t+\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\
y=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} \right)\\
x=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} +9 \right)\\}\)
Do tego równania można podejść na dwa sposoby które uogólniają się
na równanie czwartego stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}-9x^{2}+28x-20=0}\)
Zacznijmy od wyrugowania wyrazu z \(\displaystyle{ x^2}\)
Możemy użyć albo podstawienia albo schematu Hornera
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} &1&-9&28&-20\\ \hline 3&1&-6&10&10 \\ \hline 3&1&-3&1& \\ \hline 3&1&0&&\\ \hline 3&1&&&\\ \hline \end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ \left( x-3\right)^3+\left( x-3\right)+10=0}\)
1.
\(\displaystyle{ y=x-3\\
y^3+y+10=0\\
y^3=-y-10\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3-y-10\\
\left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-1\right)+z^3-10\\
3yz+3z^2-1=0\\
3z\left( y+z\right)-1=0\\
y+z=\frac{1}{3z}\\
\frac{1}{27z^3} =z^3-10\\
z^3-10-\frac{1}{27z^3}=0\\
z^6-10z^3-\frac{1}{27}=0\\
\left( z^3-5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\
\left( z^3-\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( z^3-\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\
\left( z^3-\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( z^3-\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\
z=\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}} \\
y+z=\frac{1}{3z}\\
y=-z+\frac{1}{3z}\\
y=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}\\
x=-\frac{1}{3}\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{135+78 \sqrt{3}}}+3\\
x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right) -\frac{1}{3+2 \sqrt{3} }+3\\
x=-\frac{1}{3} \cdot \left( 3+2 \sqrt{3} \right)-\frac{1}{3}\left( 3-2 \sqrt{3} \right)+3\\
x=-\frac{1}{3}\left( \left(3-2 \sqrt{3} \right)+\left( 3+2 \sqrt{3} \right) \right)+3\\
x=-2+3\\
x=1\\}\)
2.
\(\displaystyle{ y=x-3\\
y^3+y+10=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+\left( u+v\right)+10=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+\left( u+v\right)+10=0\\
u^3+v^3+10+3u^2v+3uv^2+\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+10+3uv\left(u+v \right) +\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+10+\left( u+v\right)\left( 3uv+1\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+10=0 \\ 3uv+1=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ uv=-\frac{1}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-10 \\ u^3v^3=-\frac{1}{27} \end{cases} \\
t^2+10t-\frac{1}{27}=0\\
\left( t+5\right)^2-\frac{676 \cdot 3}{81}=0\\
\left( t+\frac{45+26 \sqrt{3} }{9}\right)\left( t+\frac{45-26 \sqrt{3} }{9}\right)=0\\
\left( t+\frac{135+78 \sqrt{3} }{27}\right)\left( t+\frac{135-78 \sqrt{3} }{27}\right)=0\\
y=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} \right)\\
x=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{-135-78 \sqrt{3}}+ \sqrt[3]{-135+78 \sqrt{3}} +9 \right)\\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22229
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
mariuszm, to chwalebne- znać takie metody. Ale czy naprawdę uważasz, że twoja metoda jest lepsza zwłaszcza na kolokwium?
Czy naprawdę tak byś rozkładał na ułamek proste \(\displaystyle{ (x^2-2x)/Q(x)}\)?
Czy naprawdę tak byś rozkładał na ułamek proste \(\displaystyle{ (x^2-2x)/Q(x)}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
To tak jakbyś próbował atomówką bakterie załatwić. Nie przebierajmy w słowach. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie jest, bynajmniej, zgadywaniem. Jest to najprostsza metoda na rozwiązanie prostszych równań. Dopiero kiedy i ona nie pomoże, można posiłkować się innymi metodami (typu wzory Cardano).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
a4karo, dla mnie pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)
Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi
i nawet nie masz pewności że takie dzielniki znajdziesz
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)
Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi
Jak to nie jest zgadywaniem skoro nie wiesz jakie dzielniki pasująTwierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie jest, bynajmniej, zgadywaniem.
i nawet nie masz pewności że takie dzielniki znajdziesz
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4085
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1398 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Skoro wiadomo że działa dla pierwiastków wymiernych (w dodatku jest skończenie wiele kandydatów) to jak można to nazwać zgadywaniem...pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych
To jest po prostu twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu w czystej użytkowej postaci.
Ale tu jest. Gdyby babcia miała wąsy to wzory Cardana by się przydały.nie zawsze jest szybsze...ale gdyby tych dzielników było więcej ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22229
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Można dyskutować o tym, co kto woli. Większość moich studentów po zobaczeniu Twoich rachunków poszłaby na teologię .mariuszm pisze:a4karo, dla mnie pomysł zaproponowany przez Przemysława jest zgadywaniem
działa tylko dla pierwiastków wymiernych , nie zawsze jest szybsze
(Tutaj względnie łatwo zgadnąć ale gdyby tych dzielników było więcej ?)
Całkowitych pierwiastków można by szukać binarnie dałoby to
logarytmiczną złożoność ale co z wymiernymi
Inna sprawa, że sposób w jaki przedstawiasz swoje rozwiązania jest czytelny dla ludzi, którzy te metody znają i potrafią zastosować gdy trzeba. Natomiast dla laika ściana znaczków które wypisujesz bez żadnych komentarzy nie jest zjadliwa.
Jeżeli mamy do czynienia z zadaniami szkolnymi, uczelnianymi czy większością jakichkolwiek innych, to użycie metody podanej przez Premislava jest dużo lepsze z następujących względów:
a. działa dla wielomianów dowolnego stopnia
b. nie daje pierwiastków całkowitych w koszmarnie niezjadliwej postaci
c. nie jest zgadywaniem lecz optymalizacją: najpierw próbujemy metod prostych, a potem, jeżeli trzeba, wyciagamy armaty
d. jest raczej "błędoodporne" (choć dziś część studentów ma problem z dodawaniem licz całkowitych).
A wymiernych pierwiastkó szuka sie tak samo jak całkowitych.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
a4karo tutaj miałem na myśli że nie zawsze uda się od razu zgadnąć pierwiastek
i że do znajdowania całkowitych można użyć wyszukiwania binarnego
co daje logarytmiczną złożoność
(krańce przedziałów należy dobierać tak aby aby iloczyn wartości funkcji w tych punktach był ujemny)
Gdyby to zastosować do wymiernych to można by się nieco pogubić
Z ciekawości przeglądałeś kiedyś tematy ze wstępu do programowania oraz
algorytmów i struktur danych ?
i że do znajdowania całkowitych można użyć wyszukiwania binarnego
co daje logarytmiczną złożoność
(krańce przedziałów należy dobierać tak aby aby iloczyn wartości funkcji w tych punktach był ujemny)
Gdyby to zastosować do wymiernych to można by się nieco pogubić
Z ciekawości przeglądałeś kiedyś tematy ze wstępu do programowania oraz
algorytmów i struktur danych ?
-
- Użytkownik
- Posty: 22229
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Rozwiązać równanie trzeciego stopnia.
Ale przecież nikt tu nie mówi o numerycznym rozwiązywaniu równań ani o wyszukiwaniu binarnym. Po prostu szukamy pierwiastka wśród dzielników wyrazy wolnego. I to właśnie wszyscy robią.