Upraszczanie wyrażenia

[Sansi]

Witajcie.

Mam takie wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{x^{3} +64}{x^{2} -16} - \frac{x^{2} - 16}{x+4}}\)

Niby wygląda pięknie ale mam jakieś zaćmienie. Widzę, do czego najlepiej to sprowadzić i nie mogę jakoś tego zrobić :/

dochodzę do takiej postaci

\(\displaystyle{ \frac{\left( x ^{2}+x+16 \right)\left( x^{2}-4 \right) \left( 3x^{2}+64 \right) \left( x+20\right)}{\left( x-4\right)\left( x+4\right)\left( x+4\right) }}\)

Gdzie się już pomyliłam bo skoro idzie źle to coś przeoczyłam albo źle to rozbiłam, ale no niestety sama już na to patrząc nic nie widzę :/

[a4karo]

Krok po kroczkami piknie prosim.

Dobra rada :uprosc każdy ułamek przed sprowadzeniem do wspólnego mianownika

[Sansi]

\(\displaystyle{ \frac{x^{3} +64}{x^{2} -16} - \frac{x^{2} - 16}{x+4} =
\frac{\left[ \left( x ^{3}+64 \right) - \left( x ^{2} -16 \right) \right]\left( x+4\right) }{\left( x ^{2} -16\right)\left( x+4\right) } = \frac{ x^{4}+ 3x^{3}-4x+80x+320 }{ \left( x^{2}-16 \right)\left( x-4\right) } = \frac{ x^{2} \left( x^{2}-4 \right) +x\left( 3x^{2}+64 \right)+16\left( x+20\right) }{\left( x ^{2}-16 \right)\left( x+4\right) } = \frac{\left( x ^{2}+x+16 \right)\left( x^{2}-4 \right) \left( 3x^{2}+64 \right) \left( x+20\right)}{\left( x-4\right)\left( x+4\right)\left( x+4\right) }}\)

[mortan517]

Sansi, nie posłuchałaś a4karo. Najpierw wzory skróconego mnożenia, później wspólny mianownik.

[Sansi]

Tak już przeliczam od nowa ale chciałam pokazać jak dotąd robiłam, bo na uczelni pan prowadzący przedmiot kazał najpierw wszystko sprowadzać do jednej linii.. więc próbowałam ale wyszło jak wyszło ;p

[mortan517]

W takim razie możesz rozpisać wyłącznie mianownik ze wzoru i wtedy sprowadzić, będzie dużo szybciej.

[a4karo]

A tak jak robiłaś się nie robi. Już pierwsza równość nie jest prawdziwa.

[Sansi]

Ok więc spróbowałam tak i wyszło to
\(\displaystyle{ \frac{\left( x+4\right) ^{2}}{\left( x-4\right) \left( x+4\right) } - \frac{\left( x-4\right) \left( x+4\right)}{x+4}}\)

Czy poprawnie rozbiłam na wzory? Nie robiłam tego od przeszło 6 lat i mogę wiele nie pamiętać niestety :/

[Rafsaf]

\(\displaystyle{ = \frac{x^{2} \left( x^{2}-4 \right) +x\left( 3x^{2}+64 \right)+16\left( x+20\right) }{\left( x ^{2}-16 \right)\left( x+4\right) }=\frac{\left( x ^{2}+x+16 \right)\left( x^{2}-4 \right) \left( 3x^{2}+64 \right) \left( x+20\right)}{\left( x-4\right)\left( x+4\right)\left( x+4\right) }}\)

Jakim cudem te liczniki są sobie równe?

\(\displaystyle{ ab+cb=b(a+c)}\), ale nie koniecznie \(\displaystyle{ ab+cd=(a+c)(b+d)}\)

Bo niby dlaczego?

[Sansi]

\(\displaystyle{ = \frac{x^{2} \left( x^{2}-4 \right) +x\left( 3x^{2}+64 \right)+16\left( x+20\right) }{\left( x ^{2}-16 \right)\left( x+4\right) }=\frac{\left( x ^{2}+x+16 \right)\left( x^{2}-4 \right) \left( 3x^{2}+64 \right) \left( x+20\right)}{\left( x-4\right)\left( x+4\right)\left( x+4\right) }}\)

Jakim cudem te liczniki są sobie równe?

\(\displaystyle{ ab+cb=b(a+c)}\), ale nie koniecznie \(\displaystyle{ ab+cd=(a+c)(b+d)}\)

Bo niby dlaczego?

Bardzo chciałabym wiedzieć starałam się robić na wzór przykładu z zajęć no ale... cóż

[a4karo]

Ok więc spróbowałam tak i wyszło to
\(\displaystyle{ \frac{\left( x+4\right) ^{2}}{\left( x-4\right) \left( x+4\right) } - \frac{\left( x-4\right) \left( x+4\right)}{x+4}}\)

Czy poprawnie rozbiłam na wzory? Nie robiłam tego od przeszło 6 lat i mogę wiele nie pamiętać niestety :/

Jak do tego doszłaś? Przecież \(\displaystyle{ x^3+64\neq (x+4)^2}\).

Użyj wzoru na sumę sześcianów. A potem uprość co się da.

[Sansi]

Ahh źle spojrzałam na potęgę po prostu :/

\(\displaystyle{ \frac{\left( x^{3}+ 4^{3} \right)}{\left( x-4\right) \left( x+4\right) } - \frac{\left( x-4\right) \left( x+4\right)}{x+4}}\)

[a4karo]

teraz wzór na sume sześcianów i skróć co się da.

Potem do wspólnego mianownika

[Sansi]

\(\displaystyle{ \frac{\left( (x+4\right)\left( x^{2}-4x+ 4^{2} \right) }{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }- \frac{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }{\left( x+4\right) } =\frac{\left( x ^{2}-4x+ 4^{2} \right) -\left( x-4\right) \left( x+4\right)\left( x+4\right) }{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }=\frac{\left( x ^{2}-4x+ 4^{2} \right) -\left( x-4\right) \left( x+4\right) }{\left( x-4\right) }}\)

[a4karo]

Chyba jednak nie potrafisz sprowadzać do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{\left( (x+4\right)\left( x^{2}-4x+ 4^{2} \right) }{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }- \frac{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }{\left( x+4\right) } \\
=\frac{\red (x+4)\black\left( x ^{2}-4x+ 4^{2} \right) -\left( x-4\right) \left( x\red-\black4\right)\left( x+4\right) }{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }\\
=\frac{\left( x ^{2}-4x+ 4^{2} \right) -\left( x-4\right) \left( x\red-\black4\right) }{\left( x-4\right) }}\)

A jeszcze prościej było tak, jak sugerowałem
\(\displaystyle{ \frac{\left( x+4\right)\left( x^{2}-4x+ 4^{2} \right) }{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }- \frac{\left( x-4\right)\left( x+4\right) }{\left( x+4\right) } \\
=\frac{\left( x^{2}-4x+ 4^{2} \right) }{\left( x-4\right) }-\left( x-4\right) \\
=\frac{x^2-4x+16-(x-4)^2}{x-4}}\)

I teraz pozostaje uporzadkować licznik