Udowodnij równość w wielomianach

[lukasz_xyz]

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 3f-g=-h}\)

\(\displaystyle{ f(x)= x^{3} + 5x^{2} +p}\)
\(\displaystyle{ g(x)=rx ^{3} -mx^{2} +x+3}\)
\(\displaystyle{ h(x)= -x ^{3} +4x ^{2} +kx+2}\)

[Zahion]

Chodzi o działanie \(\displaystyle{ 3f\left( x\right) - g\left( x\right) = -h\left( x\right)}\) dla podanych wielomianów ? Jak mamy wtedy traktować \(\displaystyle{ p,r,k}\) ?

[lukasz_xyz]

Chodzi o działanie \(\displaystyle{ 3f\left( x\right) - g\left( x\right) = -h\left( x\right)}\) dla podanych wielomianów ? Jak mamy wtedy traktować \(\displaystyle{ p,r,k}\) ?

Nie, mam napisane \(\displaystyle{ 3f-g=-h}\) i jestem pewien, że tak było napisane na tablicy.
Z tego co kojarzę nie było żadnych dodatkowych założeń.

Głupio się przyznać ale nawet nie bardzo wiem jak za to zadanie się zabrać... Próbowałem podstawić do tej równości te wielomiany i potem coś spróbować porównywać ale nic.

[Zahion]

Może chodziło o rozwiązanie tego równania, tj. wyznaczenie wartości \(\displaystyle{ p, r, k}\) ?
Wtedy mamy \(\displaystyle{ 3f - g = x^{3}\left( 3 - r\right) + x^{2}\left( 15 + m\right) - x + 3p - 3}\) oraz \(\displaystyle{ -h = x^{3} - 4x^{2} -kx - 2}\). Wystarczy przyrównać współczynniki przy odpowiednich potęgach.

[lukasz_xyz]

Może chodziło o rozwiązanie tego równania, tj. wyznaczenie wartości \(\displaystyle{ p, r, k}\) ?
Wtedy mamy \(\displaystyle{ 3f - g = x^{3}\left( 3 - r\right) + x^{2}\left( 15 + m\right) - x + 3p - 3}\) oraz \(\displaystyle{ -h = x^{3} - 4x^{2} -kx - 2}\). Wystarczy przyrównać współczynniki przy odpowiednich potęgach.

Tam nie powinno być
\(\displaystyle{ 3f-g=x ^{3} (3-r) + x ^{2} (15-m) -x-3p-3}\) ?

Jeżeli tak, to w jaki sposób to porównać?

\(\displaystyle{ 3-r=1}\)
\(\displaystyle{ 15-m=-4}\)
\(\displaystyle{ -1=-k}\)

więc:
\(\displaystyle{ r=2}\)
\(\displaystyle{ m=19}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)
a co z parametrem \(\displaystyle{ p}\)?

[Zahion]

\(\displaystyle{ 3f - g = 3\left( x^{3} +5x^{2} + p\right) - \left( rx^{3} - mx^{2} +x + 3\right) = 3x^{3} -rx^{3} + 15x^{2} -\left( -mx^{2}\right) -x - 3 + 3p = x^{3} \left( 3 - r\right) +x^{2}\left( 15 +m\right) -x - 3 + 3p}\)

( dwa minusy dają plus ). Mamy więc, że :
\(\displaystyle{ x^{3}\left( 3 - r\right) + x^{2}\left( 15 + m\right) - x + 3p - 3 = x^{3} -4x^{2} -kx - 2}\). Stąd \(\displaystyle{ 3 - r = 1 \Rightarrow r = 2}\) i \(\displaystyle{ 15 + m = - 4 \Rightarrow m = -19}\) i \(\displaystyle{ -1 = -k \Rightarrow k = 1}\) oraz \(\displaystyle{ 3p - 3 = - 2 \Rightarrow p = 1/3}\)

[lukasz_xyz]

Wszystko rozumiem, faktycznie pomyliłem się tam gdzieś z tym minusem ale mam jedno pytanie:
\(\displaystyle{ 15-m=-4 \Leftrightarrow m=19}\) nie powinno być tak zamiast \(\displaystyle{ 15+m=-4}\) ?

[Zahion]

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) w wielomianie \(\displaystyle{ g}\) wynosi \(\displaystyle{ -m}\). Tak więc współczynnik w wielomianie \(\displaystyle{ -g}\) wynosi \(\displaystyle{ m}\). Współczynnik w wielomianie \(\displaystyle{ f}\) przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest równy \(\displaystyle{ 5}\), więc w \(\displaystyle{ 3f}\) wynosi on \(\displaystyle{ 15}\). Stąd w wielomianie \(\displaystyle{ 3f - g}\) współczynnik wynosi \(\displaystyle{ 15 + m}\) przy \(\displaystyle{ x^{2}}\). Stąd też \(\displaystyle{ 15 + m = - 4}\)

[lukasz_xyz]

Zdenerwowałem się i zrobiłem całe zadanie od nowa i wyszło mi dokładnie tak samo. Niepotrzebnie robiłem wszystko tak pochopnie przez co gubiłem minusy itd.

Robiąc zadanie samemu doszedłem do tej postaci: \(\displaystyle{ x ^{3} (3-r) + x ^{2} (15+m) -x +3p -3 = x ^{3} -4x ^{2} -kx -2}\) i nie wiedziałem co z tym zrobić więc zajrzałem tutaj i bardzo szybko uzyskałem odpowiedź za co jestem niezmiernie wdzięczny i dziękuję za poświęcony czas.

Pozdrawiam!