Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
illwreakyabonez
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 11 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: illwreakyabonez »

Pytanie może trochę paradoksalne, ale kiedy czegoś (funkcji?) nie można określić mianem wielomianu?
Mam zadanie stwierdzić, czy dane wyrażenie jest wielomianem i trochę tego nie rozumiem. A konkretniej, dlaczego \(\displaystyle{ W(x)= \sqrt{x}}\) nie jest wielomianem, a \(\displaystyle{ W (x)= x^{2}}\) już jest.
Analogicznie czemu \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3}+x+1) ^{-1}}\) nie jest, i w jaki sposób mogę rozpisać powyższy (ostatni) nawias do potęgi -1
szw1710

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: szw1710 »

Wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ x}\) nazywamy sumę jednomianów czyli wyrażenie postaci \(\displaystyle{ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0}\). Musisz pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) nie ma tej postaci.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: Janusz Tracz »

Możesz zauważyć na przykład że dziedziną naturalną każdego wielomiany są liczb rzeczywiste a dziedziną pierwiastka liczby nieujemne.

To samo z \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3}+x+1) ^{-1}}\). Nie jest to wielomian bo dziedziną \(\displaystyle{ W}\) nie jest \(\displaystyle{ \RR}\). Nie muszę nawet liczyć dokładnie dziedziny \(\displaystyle{ W}\), wiem że przez zero się niedzieli a skąd wiem że istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki że \(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=0}\)? Wystarczy tw Darboux.
szw1710

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: szw1710 »

Janusz Tracz, to jest oczywiste, szukałem bardziej delikatnego argumentu np. żeby odpowiedzieć na pytanie czemu \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) nie jest wielomianem obciętym do półosi nieujemnej.

Np. tak: jeśli \(\displaystyle{ w(x)=\sqrt{x}}\) byłoby takim wielomianem, to \(\displaystyle{ w(x^2)=x}\) jest wielomianem pierwszego stopnia (a dokładniej obcięciem wielomianu pierwszego stopnia do półosi nieujemnej), co nie jest możliwe, bo jeśli samo \(\displaystyle{ w(x)}\) nie jest wielomianem stałym i ma jakiś stopień, to \(\displaystyle{ w(x^2)}\) ma stopień parzysty.
Awatar użytkownika
illwreakyabonez
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 11 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: illwreakyabonez »

Dziękuję Wam obu za pomoc. Wasze odpowiedzi poniekąd się uzupelniają i już rozumiem zagadnienie. Właściwie to nie tyle co rozumiem, lecz wiem jak stosować na moim poziomie. Dzięki
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: a4karo »

Ciekawe jak byś robił zadanie : pokazać, że \(\displaystyle{ \ln x}\) nie jest wielomianem w przedziale \(\displaystyle{ (1,2)}\)?:)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: Janusz Tracz »

Załóżmy nie wprost że \(\displaystyle{ \ln x=W(x)}\) przy czym \(\displaystyle{ W(x)}\) to jakiś wielomian. Widać że
\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln x}= \frac{1}{W(x)}}\) a stąd wniosek że \(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1}{\ln x} \mbox{d}x = \int_{}^{} \frac{1}{W(x)} \mbox{d}x}\). Prawa strona zawsze bez względu na wielomian \(\displaystyle{ W}\) daje zapisać się jako funkcja elementarna. Lewa strona jest funkcją nieelementarną co jest znanym faktem podawanym na analizie 1. Mamy więc sprzeczność.

Wiem że są inne dużo prostsze sposoby na pokazanie że \(\displaystyle{ \ln x}\) nie jest wielomianem można poszukać na forum, ale to wymyśliłem sam.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: a4karo »

Podoba mi się, choć armata jest duzo większa od muchy.
Z pochodną byłoby łatwiej.

Tak samo można zrobić pierwiastek.
szw1710

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: szw1710 »

Z pochodną byłoby łatwiej.
Właśnie o tym sobie pomyślałem, ale ze względu na pytającego i prostotę metody, pozostałem przy swojej z \(\displaystyle{ w(x^2)}\). Ale owszem, metoda pochodnej jest uniwersalna.

Logarytm nie jest wielomianem, bo \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}\), a dla wielomianu niestałego ten warunek nie zachodzi, tzn. \(\displaystyle{ \frac{w(x)}{x}\not\to 0}\) w nieskończoności.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: a4karo »

szw1710 pisze:
Z pochodną byłoby łatwiej.
Właśnie o tym sobie pomyślałem, ale ze względu na pytającego i prostotę metody, pozostałem przy swojej z \(\displaystyle{ w(x^2)}\). Ale owszem, metoda pochodnej jest uniwersalna.

Logarytm nie jest wielomianem, bo \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}\), a dla wielomianu niestałego ten warunek nie zachodzi, tzn. \(\displaystyle{ \frac{w(x)}{x}\not\to 0}\) w nieskończoności.
Ale pytanie nie było o to, czy jest wielomianem globalnie, czy jedynie na kawałku. Granica nic nie da


Zabawne: logarytm naturalny na zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,\dots,2017\}}\) jest wielomianem
szw1710

Re: Kiedy funkcja nie jest wielomianem?

Post autor: szw1710 »

Każda funkcja na zbiorze skończonym jest wielomianem.
ODPOWIEDZ