Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Pytanie może trochę paradoksalne, ale kiedy czegoś (funkcji?) nie można określić mianem wielomianu?
Mam zadanie stwierdzić, czy dane wyrażenie jest wielomianem i trochę tego nie rozumiem. A konkretniej, dlaczego \(\displaystyle{ W(x)= \sqrt{x}}\) nie jest wielomianem, a \(\displaystyle{ W (x)= x^{2}}\) już jest.
Analogicznie czemu \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3}+x+1) ^{-1}}\) nie jest, i w jaki sposób mogę rozpisać powyższy (ostatni) nawias do potęgi -1
Mam zadanie stwierdzić, czy dane wyrażenie jest wielomianem i trochę tego nie rozumiem. A konkretniej, dlaczego \(\displaystyle{ W(x)= \sqrt{x}}\) nie jest wielomianem, a \(\displaystyle{ W (x)= x^{2}}\) już jest.
Analogicznie czemu \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3}+x+1) ^{-1}}\) nie jest, i w jaki sposób mogę rozpisać powyższy (ostatni) nawias do potęgi -1
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Wielomianem zmiennej \(\displaystyle{ x}\) nazywamy sumę jednomianów czyli wyrażenie postaci \(\displaystyle{ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0}\). Musisz pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) nie ma tej postaci.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Możesz zauważyć na przykład że dziedziną naturalną każdego wielomiany są liczb rzeczywiste a dziedziną pierwiastka liczby nieujemne.
To samo z \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3}+x+1) ^{-1}}\). Nie jest to wielomian bo dziedziną \(\displaystyle{ W}\) nie jest \(\displaystyle{ \RR}\). Nie muszę nawet liczyć dokładnie dziedziny \(\displaystyle{ W}\), wiem że przez zero się niedzieli a skąd wiem że istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki że \(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=0}\)? Wystarczy tw Darboux.
To samo z \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3}+x+1) ^{-1}}\). Nie jest to wielomian bo dziedziną \(\displaystyle{ W}\) nie jest \(\displaystyle{ \RR}\). Nie muszę nawet liczyć dokładnie dziedziny \(\displaystyle{ W}\), wiem że przez zero się niedzieli a skąd wiem że istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki że \(\displaystyle{ x ^{3}+x+1=0}\)? Wystarczy tw Darboux.
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Janusz Tracz, to jest oczywiste, szukałem bardziej delikatnego argumentu np. żeby odpowiedzieć na pytanie czemu \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) nie jest wielomianem obciętym do półosi nieujemnej.
Np. tak: jeśli \(\displaystyle{ w(x)=\sqrt{x}}\) byłoby takim wielomianem, to \(\displaystyle{ w(x^2)=x}\) jest wielomianem pierwszego stopnia (a dokładniej obcięciem wielomianu pierwszego stopnia do półosi nieujemnej), co nie jest możliwe, bo jeśli samo \(\displaystyle{ w(x)}\) nie jest wielomianem stałym i ma jakiś stopień, to \(\displaystyle{ w(x^2)}\) ma stopień parzysty.
Np. tak: jeśli \(\displaystyle{ w(x)=\sqrt{x}}\) byłoby takim wielomianem, to \(\displaystyle{ w(x^2)=x}\) jest wielomianem pierwszego stopnia (a dokładniej obcięciem wielomianu pierwszego stopnia do półosi nieujemnej), co nie jest możliwe, bo jeśli samo \(\displaystyle{ w(x)}\) nie jest wielomianem stałym i ma jakiś stopień, to \(\displaystyle{ w(x^2)}\) ma stopień parzysty.
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Dziękuję Wam obu za pomoc. Wasze odpowiedzi poniekąd się uzupelniają i już rozumiem zagadnienie. Właściwie to nie tyle co rozumiem, lecz wiem jak stosować na moim poziomie. Dzięki
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Ciekawe jak byś robił zadanie : pokazać, że \(\displaystyle{ \ln x}\) nie jest wielomianem w przedziale \(\displaystyle{ (1,2)}\)?:)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Załóżmy nie wprost że \(\displaystyle{ \ln x=W(x)}\) przy czym \(\displaystyle{ W(x)}\) to jakiś wielomian. Widać że
\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln x}= \frac{1}{W(x)}}\) a stąd wniosek że \(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1}{\ln x} \mbox{d}x = \int_{}^{} \frac{1}{W(x)} \mbox{d}x}\). Prawa strona zawsze bez względu na wielomian \(\displaystyle{ W}\) daje zapisać się jako funkcja elementarna. Lewa strona jest funkcją nieelementarną co jest znanym faktem podawanym na analizie 1. Mamy więc sprzeczność.
Wiem że są inne dużo prostsze sposoby na pokazanie że \(\displaystyle{ \ln x}\) nie jest wielomianem można poszukać na forum, ale to wymyśliłem sam.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln x}= \frac{1}{W(x)}}\) a stąd wniosek że \(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{1}{\ln x} \mbox{d}x = \int_{}^{} \frac{1}{W(x)} \mbox{d}x}\). Prawa strona zawsze bez względu na wielomian \(\displaystyle{ W}\) daje zapisać się jako funkcja elementarna. Lewa strona jest funkcją nieelementarną co jest znanym faktem podawanym na analizie 1. Mamy więc sprzeczność.
Wiem że są inne dużo prostsze sposoby na pokazanie że \(\displaystyle{ \ln x}\) nie jest wielomianem można poszukać na forum, ale to wymyśliłem sam.
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Podoba mi się, choć armata jest duzo większa od muchy.
Z pochodną byłoby łatwiej.
Tak samo można zrobić pierwiastek.
Z pochodną byłoby łatwiej.
Tak samo można zrobić pierwiastek.
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Właśnie o tym sobie pomyślałem, ale ze względu na pytającego i prostotę metody, pozostałem przy swojej z \(\displaystyle{ w(x^2)}\). Ale owszem, metoda pochodnej jest uniwersalna.Z pochodną byłoby łatwiej.
Logarytm nie jest wielomianem, bo \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}\), a dla wielomianu niestałego ten warunek nie zachodzi, tzn. \(\displaystyle{ \frac{w(x)}{x}\not\to 0}\) w nieskończoności.
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Kiedy funkcja nie jest wielomianem?
Ale pytanie nie było o to, czy jest wielomianem globalnie, czy jedynie na kawałku. Granica nic nie daszw1710 pisze:Właśnie o tym sobie pomyślałem, ale ze względu na pytającego i prostotę metody, pozostałem przy swojej z \(\displaystyle{ w(x^2)}\). Ale owszem, metoda pochodnej jest uniwersalna.Z pochodną byłoby łatwiej.
Logarytm nie jest wielomianem, bo \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}\), a dla wielomianu niestałego ten warunek nie zachodzi, tzn. \(\displaystyle{ \frac{w(x)}{x}\not\to 0}\) w nieskończoności.
Zabawne: logarytm naturalny na zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,\dots,2017\}}\) jest wielomianem