Reszta z dzielenia wielomianu schematem Hornera

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
dxz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 19 wrz 2017, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lodz

Reszta z dzielenia wielomianu schematem Hornera

Post autor: dxz »

Mam takie o to zadanie:


"Wyznacz ze schematu Hornera resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w = x^{4} + x + 2}\) przez wielomian \(\displaystyle{ v = x^{2} - 1.}\)"
Z tego co wiem schematem Hornera nie da się obliczyć dzielenia przez dwumian wyższego stopnia niż jeden stad nie wiem jak to zrobić. Za pomocą pisemnego dzielenia reszta wyszla \(\displaystyle{ x+3}\).
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2017, o 22:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Reszta z dzielenia wielomianu schematem Hornera

Post autor: Michalinho »

Ze schematu Hornera możesz wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\), przez dwumiany \(\displaystyle{ x-1}\) oraz \(\displaystyle{ x+1}\). Zgodnie z nim wynoszą one odpowiednio \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 3}\).
Zapiszemy to tak:
\(\displaystyle{ w(x)=(x-1)w_1(x)+4}\)
\(\displaystyle{ w(x)=(x+1)w_2(x)+2}\)

Stopień \(\displaystyle{ v}\) to \(\displaystyle{ 2}\), a więc reszta \(\displaystyle{ r}\) może być stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\). Stąd
\(\displaystyle{ w(x)=(x^2-1)w_3(x)+(Ax+B)}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ w(1)=4, w(-1)=2}\) oraz \(\displaystyle{ w(1)=A+B, w(-1)=-A+B}\).
Stąd mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=4 \\ -A+B=2 \end{cases}}\).

Jego rozwiązanie to \(\displaystyle{ A=1, B=3}\).
A więc \(\displaystyle{ \boxed{r=x+3}}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Reszta z dzielenia wielomianu schematem Hornera

Post autor: piasek101 »

Ale to i bez Hornera wiadomo - więc polecenie to sztuka dla sztuki.

\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\) wiemy, że \(\displaystyle{ R(1)=W(1)}\) oraz \(\displaystyle{ R(-1)=W(-1)}\)
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Reszta z dzielenia wielomianu schematem Hornera

Post autor: Michalinho »

piasek101, racja. Ale czasem można ćwiczyć i na trywialnych przykładach. Gdzieś kiedyś czytałem, że lepiej nauczyć się robić jedno zadanie na tysiąc sposobów niż tysiąc zadań w jeden sposób. Nie wiem ile w tym mądrości, ale chciałem zabłysnąć erudycją.
ODPOWIEDZ