Rozkład wielomianu

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ W \left( x \right) =a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +...+a_1x +a_0}\) oraz \(\displaystyle{ a_i=a_{2n-1}}\) gdy \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) przy czym \(\displaystyle{ a_{2n} \neq 0}\).
Udowodnić że istnieje wielomian \(\displaystyle{ R}\) taki, iż \(\displaystyle{ R \left( x+ \frac{1}{x} \right) x^n =W \left( x \right)}\)

[a4karo]

Wsk: każdy taki wielomian jest (z dokładnościa do stałej) iloczynem wielomianów postaci \(\displaystyle{ (x-a)(x-1/a)}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in \RR}\) lub
\(\displaystyle{ (x-a)a-1/a)(x-\overline{a})(x-1/\overline{a})}\) (\(\displaystyle{ a\in\CC\setminus\RR}\))