Własność rozkładu

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x^n+ a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+ a_n= (x-p_1)...(x-p_n)}\) to \(\displaystyle{ (n-1)a_1^2 \geq 2na_2}\)

[PoweredDragon]

Oczywiście \(\displaystyle{ p_i \in \mathbb R}\), bo inaczej to raczej bzdura

Chodzi o to, że wielomian ma pierwiastki, których krotności sumują się do \(\displaystyle{ n}\), tak?

[Janusz Tracz]

Wydaje mi się że problem jest sprowadzany do poniższego za pomocą

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_symmetric_polynomial

Ukryta treść:    

Udowodnienia nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ x_p\in\mathnbb{R}}\) i \(\displaystyle{ p=1,2,3,...n}\) zachodzi

\(\displaystyle{ (n-1) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n}x_i \right)^2 \ge 2n \cdot \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k}x_ix_k}\)

\(\displaystyle{ (n-1) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n}x_i \right)^2 \ge 2n \cdot \sum_{k=1}^{n} \left( x_k\sum_{i=1}^{k}x_i\right)}\)