Równania wielomianowe

[SnowBird]

Dobry,
Potrzebowałbym pomocy z dwoma zadaniami.

1. Rozwiąż równanie: (*) \(\displaystyle{ \left| x^4-4\right|-\left| x^2+2\right| = \left| x^4-x^2-6\right|}\).

Część mojego rozwiązania:
(*) = \(\displaystyle{ \left| x^4-4\right| - \left| x^2+2\right| = \left| (x^4-4)-(x^2+2)\right| \Leftrightarrow (x^4-4)(x^2+2) > 0}\), bo \(\displaystyle{ \left| a \right| - \left| b \right| = \left| a-b \right| \Leftrightarrow ab > 0}\). Idąc tym tokiem rozumowania doszedłem do rozwiązania \(\displaystyle{ x \in (- \infty , -\sqrt{2}) \cup ( \sqrt{2}, \infty )}\). Co wg odpowiedzi do tego zadania jest błędem. W związku z tym chciałbym się dowiedzieć: czy prawdą jest, że: \(\displaystyle{ \left| a\right| - \left| b\right| = \left| a-b\right| \Leftrightarrow ab >0}\). Jeśli tak to czy moja odpowiedź jest poprawna? A jeśli nie to jaki warunek musi być spełniony, żeby różnica modułów była równa modułowi różnicy?

2. Rozwiąż równania:
a)\(\displaystyle{ x^3- \sqrt{3}x^2+3 \sqrt{2}x-2 \sqrt{6}=0}\)
b)\(\displaystyle{ 6x^3-9x^2-10x+15=0}\)

Kompletnie nie wiem jak się zabrać za te dwa przykłady.. Będę wdzięczny za naprowadzenie mnie na rozwiązanie.

Z góry dziękuję.

[Benny01]

2b
\(\displaystyle{ 6x^3-9x^2-10x+15=2x(3x^2-5)-3(3x^2-5)=(3x^2-5)(2x-3)}\)
Podpunkt a jest dobrze przepisany?

[SnowBird]

Tak, podpunkt a) jest dobrze przepisany. Dziękuję za rozwiązanie jednego podpunktu.

Jeszcze przy okazji dopiszę, że już widzę, że warunek \(\displaystyle{ \left| a\right| -\left| b\right| =\left| a-b\right| \Leftrightarrow ab>0}\) z zadania 1) jest bzdurą..

[Benny01]

\(\displaystyle{ \left| x^4-4\right|-\left| x^2+2\right| = \left| x^4-x^2-6\right|}\)

\(\displaystyle{ (x^2+2)\left| x^2-2\right| -(x^2+2)=(x^2+2)\left| x^2-3\right|}\) możemy podzielić przez \(\displaystyle{ x^2+2}\), bo jest różne od \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ \left| x^2-2\right| -1=\left| x^2-3\right|}\)

[Zahion]

Jeszcze przy okazji dopiszę, że już widzę, że warunek \(\displaystyle{ \left| a\right| -\left| b\right| =\left| a-b\right| \Leftrightarrow ab>0}\) z zadania 1) jest bzdurą.

Oczywiście, że jest bzdurą. Z drugiej strony gdybyś miał świadomość dlaczego jest bzdurą, to prawdopodobnie już zrobiłbyś to zadanie. Po lewej stronie nierówności masz wartość, która może być ujemna.

Mamy \(\displaystyle{ \left| a + b \right| = \left| a \right| + \left| b \right| \Leftrightarrow ab \ge 0}\)
Stąd :
\(\displaystyle{ \left| x^{4} - 4 \right| = \left| x^{4} - x^{2} - 6 \right| + \left| x^{2} + 2 \right| \ge \left| x^{4} - 4 \right|}\)
Innymi słowy \(\displaystyle{ \left( x^{2} + 2 \right)\left( x^{4} - x^{2} - 6 \right) \ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ \left( x^{2} + 2\right)^{2}\left( x^{2} - 3 \right) \ge 0}\), a to jest prawdą dla \(\displaystyle{ x \le - \sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x \ge \sqrt{3}}\)