Dwa wielomiany o wspólnych miejscach zerowych

[Takahashi]

Niech \(\displaystyle{ f, g}\) będą niestałymi wielomianami o zespolonych współczynnikach. Załóżmy, że \(\displaystyle{ f^{-1}(k) = g^{-1}(k)}\) dla \(\displaystyle{ k = 0, 1}\). Czy \(\displaystyle{ f \equiv g}\)?

[jutrvy]

Z założenia wynika, że \(\displaystyle{ f(g-1)}\) i \(\displaystyle{ g(f-1)}\) mają takie same pierwiastki, oraz równy stopień. Nie wiem co dalej

[Takahashi]

Można zastanowić się, co w sytuacji, gdy któryś z wielomianów ma pierwiastki wielokrotne.

[jutrvy]

Generalnie odpowiedź brzmi: nie. Spróbuj znaleźć kontrprzykład.

[a4karo]

W liczbach rzeczywistych o kontrprzykład łatwo : \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x^3}\). W zespolonych gorzej.

[malpxiii]

Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ f ^{-1}\left( 0\right) = g ^{-1}\left( 0\right) =0}\)
\(\displaystyle{ f ^{-1}\left( 1\right) = g ^{-1}\left( 1\right) =1}\)
z definicji funkcji odwrotnej wynika:
\(\displaystyle{ f\left( 0\right) = g\left( 0\right) =0}\)
\(\displaystyle{ f\left( 1\right) = g\left( 1\right) =1}\)
W końcu zdefiniujmy:
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = ax ^{3} + bx}\)
\(\displaystyle{ g\left( x\right) = xf\left( x\right)}\)
Wystarczy więc teraz upewnić się, żeby:
\(\displaystyle{ a+b=1}\)
np: \(\displaystyle{ a=i+2, b=-i-1}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie jest funkcją odwrotną lecz przeciwobrazem. W przypadku wielomianu taki zbiór składa się na ogół z tylu punktów ile wynosi stopień wielomianu.

[Takahashi]

malpxiii, \(\displaystyle{ g(-1) = 1}\), ale \(\displaystyle{ f(-1) = -1}\). Przeciwobrazy zbioru \(\displaystyle{ \{1\}}\) są więc różne.

[malpxiii]

Ajć, dzięki wielkie za komentarze, nie dokładnie znałem definicję \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)