twierdzenie o reszcie sie popsuło

[deciver]

Na początek przytoczę wszystkim znane twierdzenie o reszcie.
Jeśli \(\displaystyle{ r}\) jest resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez dwumian\(\displaystyle{ x-a}\), to \(\displaystyle{ r=w\left( a\right)}\)

No i liczę sobie zadanie, gdzie polecenie mówi, iż po podzieleniu wielomianu w przez wielomian p otrzymano dwumian q oraz reszte r. No i mamy dane:
\(\displaystyle{ w\left( x\right)=x ^{3}+2x ^{2} -5x+5}\)
\(\displaystyle{ q\left( x\right)=x ^{2} +3x-2}\)
\(\displaystyle{ r=3}\)
\(\displaystyle{ p\left( x\right)=x-a}\)

no to z w /w twierdzenia
\(\displaystyle{ 3=w\left( a\right)}\)
\(\displaystyle{ a ^{3}+2a ^{2} -5a+5=3}\)
\(\displaystyle{ a ^{3}+2a ^{2} -5a+2=0}\)

możliwe pierwiastki wymierne to: \(\displaystyle{ +/-1, +/-2}\)
zauważamy, że \(\displaystyle{ a=1}\) jest pierwiastkiem równania

\(\displaystyle{ \left( a-1\right)\left( a ^{2}+3a-2 \right) =0}\)
no i mam 3 rozwiązania:
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{-3- \sqrt{17} }{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{-3+ \sqrt{17} }{2}}\)

z czego powinno wynikać, że są 3 odpowiedzi, jednak tył zbioru zadań podaje tylko jedną : \(\displaystyle{ x-1}\)

Dlaczego tak jest, dlaczego tych dwóch niewymiernych odpowiedzi nie uwzględnia, przecież \(\displaystyle{ \frac{w\left( x\right) }{\frac{-3- \sqrt{17} }{2} }=q\left( x\right) +3}\)

[Takahashi]

Z równości \(\displaystyle{ w(x) = (x-a) q(x) + r(x)}\) wynika zależność

\(\displaystyle{ (a-1) (x^2 +3x-2) = 0}\),

skąd wnioskujemy o tym, że \(\displaystyle{ a = 1}\) (ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest dla nas symbolem formalnym, a sama zależność ma zachodzić w pierścieniu wielomianów).

Twierdzenie o reszcie mówi tylko, że jeśli podzielono wielomian przez \(\displaystyle{ (x-a)}\), to reszta jest specjalnej postaci. Wynikanie odwrotne jest po prostu nieprawdziwe. Przypomnij sobie, jak z pierwiastkiem obcym radzili sobie starożytni.