Przestępność, etc.

[PoweredDragon]

Czołem. Dużo ostatnio siedzę w przestępności i mam w związku z tym kilka wielomianowych wątpliwości (między innymi w rozumieniu algebraicznej niezależności).

1. Jeśli wielomian W ma współczynniki algebraiczne, to wówczas ma on również algebraiczne pierwiastki (ponieważ l. algebraiczne stanowią ciało algebraicznie domknięte), tak?

2. Jeśli liczba jest przestępna, to jednoelementowy zbiór zawierający ją samą jest algebraicznie niezależny nad ciałem liczb wymiernych, a nawet algebraicznych.

3. Jeśli którykolwiek pierwiastek wielomianu jest przestępny, to wówczas wiadomo, że conajmniej jeden z jego współczynników też musi taki być, prawda?

[Kartezjusz]

1. Tak. Z samej definicji ciała algebraicznie domkniętego.
2. Z wymiernymi to prawda z definicji liczby algebraicznej, ale z algebraicznymi jeszcze bym pomyślał.
3. Równoważne z drugą częścią punktu drugiego, bo wiązałoby się z niezależnością zbiorów singletonów liczb przestępnych.

[PoweredDragon]

2, 3.
To w takim razie coś źle zrozumiałem. Jako algebraiczną niezależność podzbioru \(\displaystyle{ A}\) nad podzbiorem \(\displaystyle{ B}\) pewnego ciała, rozumiałem, że nie istnieje wielomian o współczynnikach \(\displaystyle{ B}\), którego pierwiastkiem są elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\). Skoro algebraiczny współczynnik = algebraiczny pierwiastek, to w takim razie brak przestępnego współczynnika = algebraiczne współczynniki = brak przestępnych pierwiastków? Czy singletony nie są właśnie niezależne? Prosiłbym więc o dogłębniejsze wytłumaczenie :/

[Kartezjusz]

To chcesz sprawdzić, ale trzeba pokazać, że liczba przestępna w ciele jest także przestępna w ciele algebraicznie domkniętym. Wtedy oba pytania będą potwierdzone. Dobrze rozumiesz, ale to trzeba też pokazać.

[PoweredDragon]

Czyli tak.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb A}\) oznacza zbiór liczb algebraicznych oraz \(\displaystyle{ \mathbb T}\) zbiór liczb przestępnych. Dla każdego elementu \(\displaystyle{ x \in \mathbb A}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ x \notin \mathbb T}\). Ponadto (standardyzuję oznaczenia): \(\displaystyle{ t \in \mathbb T, \ a_i \in \mathbb A}\)

Tw. 1 - Singletony liczb przestępnych są algebraicznie niezależne nad ciałem liczb algebraicznych
D-d: Załóżmy, że twierdzenie jest fałszywe - niech wielomian \(\displaystyle{ W(x) = a_0+a_1x+...+a_nx^n}\) będzie podzielny przez \(\displaystyle{ (x-t)}\). Ale ponieważ wszystkie współczynniki są algebraiczne, a liczby algebraiczne stanowią ciało algebraicznie domknięte, pierwiastki \(\displaystyle{ W}\) również są algebraiczne - sprzeczność, c.k.d.

A z tego już wprost:
Tw. 2 - Conajmniej jeden ze współczynników wielomianu o pierwiastkach przestępnych jest przestępny

Chyba dobrze rozumuję? :L

[Kartezjusz]

Już tak. Po tym uściśleniu mamy co trzeba.