Trzy wielomiany

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) będą wielomianami, których wszystkie współczynniki są równe \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) zaś \(\displaystyle{ F(x)G(x) = 1+ x+ x^2+…+ x^{n-1}}\) przy czym \(\displaystyle{ n>1}\). Udowodnić, że jeden z tych wielomianów może być przedstawiony w formie \(\displaystyle{ (1+x+ x^2+…+ x^{k-1})T(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ k>1}\) oraz wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ T}\) są też równe \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).

[PoweredDragon]

Oczywiście wstawiając \(\displaystyle{ G(x) = T(x) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ k = n}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ F(x)G(x) = F(x) = 1 + x + ... + x^{n-1} = (1 + x + ... + x^{k-1})T(x)}\), więc warunki zadania są spełnione :V Jakiś błąd w zadaniu?

[mol_ksiazkowy]

No ale \(\displaystyle{ G}\) jak i \(\displaystyle{ F}\) są dowolne; np. \(\displaystyle{ F(x)= 1+x , \ G(x)= 1+x^2}\) itp. ...