pierwiastki wymierne wielomanu

[maximum2000]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) bedą liczbami wymiernymi oraz \(\displaystyle{ x_1, x_2 , x_3}\) będą pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+c}\). Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_2}}\) jest liczbą wymierną, różną od \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\), to \(\displaystyle{ x_1 , x_2 , x_3}\) są liczbami wymiernymi.

[szw1710]

Mamy \(\displaystyle{ w(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\) skąd łatwo wyznaczamy \(\displaystyle{ a=-(x_1+x_2+x_3),}\) \(\displaystyle{ b=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}\) oraz \(\displaystyle{ c=-x_1x_2x_3}\). Możesz teraz zastanawiać się nad wymiernościami \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) wyrażone j.w. są wymierne.