Reszta z dzielenie wielomianów o podwójnym pierwiastku

[cezido]

Cześć
Dane są 2 wielomiany:
\(\displaystyle{ P(x)=x^{15000}-x^{6000}+x^{40}+x^2-1 \\
Q(x) = (x-1)^2}\)
Należy znaleźć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ P}\) przez \(\displaystyle{ Q}\) bez wykonywania dzielenia pisemnego na nich.
Dla wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\), który ma każdy z pierwiastków pojedynczy wystarczy znaleźć wartość \(\displaystyle{ P}\) od tych pierwiastków i przyrównać do odpowiedniego wyrażenia "wielomianowego" (przykładowo \(\displaystyle{ ax+b}\), gdzie może się okazać, że \(\displaystyle{ a}\) będzie równe \(\displaystyle{ 0}\) akurat).
Natomiast jak zabrać się za to, gdy wielomian \(\displaystyle{ Q}\) ma jeden pierwiastek podwójny.
\(\displaystyle{ P(1) = 1 = a \cdot 1+b \\
a = 1-b}\)
Tyle daje powyższa metoda, jak jednak znaleźć dodatkowe równanie, które pozwoli wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)? Chodzi nie tylko o ten konkretny wielomian, ale o to, jak się zabrać za takie coś, bez dzielenia pisemnego \(\displaystyle{ P}\) przez \(\displaystyle{ Q}\) i dla takich dużych wielomianów.

[Premislav]

Zapisz \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)^2 W(x)+R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\), wstaw \(\displaystyle{ x=1}\), z tego masz pierwsze równanie. Następnie zróżniczkuj stronami równość
\(\displaystyle{ P(x)=(x-1)^2 W(x)+R(x)}\)
i ponownie wstaw po wykonaniu tego \(\displaystyle{ x=1}\), z tego masz drugie równanie.

[cezido]

Jak zróżniczkować obie strony jeżeli nie zna się W(x). W jaki sposób znaleźć resztę z dzielenia, ale tym razem dla potrójnego pierwiastka?

[Premislav]

Normalnie zróżniczkować, nie interesuje Cię postać \(\displaystyle{ W(x)}\), wystarcza Ci to, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jako wielomian jest funkcją różniczkowalną. Może pokażę, jak to zapisać i będzie jaśniej:
\(\displaystyle{ x^{15000}-x^{6000}+x^{40}+x^2-1=(x-1)^2 W(x)+ax+b\\ 15000x^{14999}-6000x^{5999}+40x^{39}+2x=2(x-1)W(x)+(x-1)^2W'(x)+a}\)
Skorzystałem po prostu ze wzoru na pochodną iloczynu i ze znanych wzorów na pochodne funkcji wielomianowych. Teraz wstawiam do otrzymanej równości \(\displaystyle{ x=1}\) i mam:
\(\displaystyle{ 15000-6000+40+2=a}\)
bo wyrazy z \(\displaystyle{ (x-1)}\) jako czynnikiem się zerują. No i masz drugie równanie.

Dla pierwiastków wyższych rzędów (potrójnych itd.) po prostu liczysz znów pochodne wyższych rzędów i wstawiasz tę wartość do otrzymanych w ten sposób równań.

[cezido]

A co jeżeli wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ Q(x) = x(x-2)^3}\)
W takim wypadku mam dwa pierwiastki, jeden potrójny i 4 współczynniki do znalezienia (\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\)).
Mogę podstawić pierwiastki (0 oraz 2) do wielomianu i z tego otrzymać 2 równania. Potem zróżniczkować stronami i podstawić znowu 2 i otrzymać tym samym trzecie równanie.
Natomiast co teraz:
- podstawić 0 do pochodnych pierwszego stopnia i otrzymać 4 równanie (mimo iż 0 jest pierwiastkiem pojedynczym)
- czy zróżniczkować ponownie i podstawić 2
Zasadniczo obydwie metody powinny chyba dać takie same efekty, tj. oba układy równań otrzymane w ten sposób (różniące się jedynie 4. równaniem) powinny dać te same wartości współczynników \(\displaystyle{ a, b, c, d}\). Czy dadzą inne efekty? Który wariant jest poprawny?

[Premislav]

- czy zróżniczkować ponownie i podstawić 2

Ta możliwość wydaje mi się jak najbardziej sensowna, nie widzę, co daje ta druga, ale może za mało się wczytałem.

[cezido]

To może na wyżej zaprezentowanym przykładzie.
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\) mamy już 2 równania. Teraz różniczkujemy stronami, otrzymujemy na przykład:
\(\displaystyle{ 15000x^{14999}-6000x^{5999}+40x^{39}+2x=(x-1)^2(4x-1)W(x)+x(x-1)^3W'(x)+3ax^2+2bx+c}\)
Do powyższej równości możemy wstawić po raz drugi pierwiastek \(\displaystyle{ x=2}\) i otrzymać już 3 równania. Jednak teraz możemy:
albo zróżniczkować stronami ponownie i podstawić \(\displaystyle{ x=2}\), aby otrzymać 4. równanie
albo do powyższego (po pierwszym różniczkowaniu) podstawić \(\displaystyle{ x=0}\).
Pytanie brzmi, czy pomimo, iż
\(\displaystyle{ x=0}\) jest pierwiastkiem pojedynczym, można użyć go 2 razy (oryginalne równanie i to zróżniczkowane),
czy trzeba jednak różniczkować po raz drugi, aby skorzystać po raz trzeci z pierwiastka \(\displaystyle{ x=2}\)?
EDIT:
Wychodzi na to, że pierwiastek pojedynczy \(\displaystyle{ x=0}\) w tym wypadku niewiele daje po różniczkowaniu, gdyż prawa strona \(\displaystyle{ (x-1)^2(4x-1)W(x)+x(x-1)^3W'(x)+3ax^2+2bx+c}\) wcale nie zredukuje się jedynie do reszty \(\displaystyle{ 3ax^2+2bx+c}\). Czy ta właściwość pojawia się zawsze, tj. pierwiastek stopnia n-tego po podstawieniu "redukuje równanie" do reszty tylko do n-1 różniczkowania, a potem jest nieprzydatny?

[Premislav]

No tak. Pierwiastek pojedynczy \(\displaystyle{ x=0}\) praktycznie nic nie daje po zróżniczkowaniu, można go użyć tylko raz.
Ogólnie gdy liczba \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem krotności \(\displaystyle{ n \in \NN^+, n \ge 2}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to \(\displaystyle{ x_0}\) jest też pierwiastkiem krotności \(\displaystyle{ n-1}\) wielomianu \(\displaystyle{ W'(x)}\).

[cezido]

Właśnie o to chodziło. Dzięki za pomoc. Takie jeszcze pytanie, skąd znasz tę technikę, żeby różniczkować stronami, aby dostawać kolejne równania. Jest ona często używana w rachunku różniczkowym i całkowym, stamtąd jest najbardziej znana?

[Premislav]

Podobne rozumowania (tj. że mamy jakieś równanie, ale ono samo za mało nam daje, żeby rozwiązać zadanie, więc jeśli możemy to różniczkujemy itd.) często pojawiają się na analizie i innych przedmiotach (np. statystyka), dlatego taka metoda mi się sama nasunęła.