Postać iloczynowa wielomianu

[Drave1990]

Zapisz wielomian w postaci iloczynowej

\(\displaystyle{ W_{(x)} = x^{4}+x^{3}-6x^{2}-4x+8}\)

[AloneAngel]

Zastosuj Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

[Drave1990]

Analizuję to twierdzenie i nie wiem od czego zacząć. Możesz mnie trochę bardziej naprowadzić?

[MrCommando]

Zauważ, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu.

[Jan Kraszewski]

Analizuję to twierdzenie i nie wiem od czego zacząć.

Hmm... Z twierdzenia dokładnie wynika, co powinieneś zrobić.

JK

[Drave1990]

\(\displaystyle{ W(x)=\left( x^{3}+x ^{2}-4+8 \right) \\
W(x)=\left( x ^{3}+x ^{2}+4\right) \\
W(x)=x\left( x ^{2}+x +4\right) \\
\Delta = -1-4 \cdot 1 \cdot 4 = -9}\)

Coś w tym stylu?

[Jan Kraszewski]

Co to jest?!

Po pierwsze, to nie jest \(\displaystyle{ W(x)}\), bo wyjściowy wielomian był czwartego stopnia. Skąd Ty wziąłeś \(\displaystyle{ x^{3}+x ^{2}-4+8}\) ?

Po drugie, twierdzenie że \(\displaystyle{ x ^{3}+x ^{2}+4=x\left( x ^{2}+x +4\right)}\) jest mocno nieprawdziwe.

JK

[Drave1990]

Próbowałem na podstawie podobnego zadania, ale widocznie źle to zrobiłem. Trudno, będę kombinował i wklejał dalej.

[kinia7]

\(\displaystyle{ W_{(x)} = x^{4}+x^{3}-6x^{2}-4x+8=}\)
\(\displaystyle{ =x^4-x^3+2x^3-2x^2-4x^2+4x-8x+8}\)=
\(\displaystyle{ =x^3(x-1)+2x^2(x-1)-4x(x-1)-8(x-1)=}\)
\(\displaystyle{ =(x-1)(x^3+2x^2-4x-8)}\)

\(\displaystyle{ x^3+2x^2-4x-8=x^3-2x^2+4x^2-8x+4x-8=}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x-2)+4x(x-2)+4(x-2)=}\)
\(\displaystyle{ =(x-2)(x^2+4x+4)=(x-2)(x+2)^2}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x+2)^2}\)

[Jan Kraszewski]

Próbowałem na podstawie podobnego zadania, ale widocznie źle to zrobiłem.

Nie tędy droga. Próba rozwiązywania zadań poprzez naśladowanie innych rozwiązań - bez zrozumienia, o co w tych rozwiązaniach chodzi - daje właśnie takie efekty.

JK

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+x^{3}-6x^{2}-4x+8}\)

Spróbuj rozłożyć ten wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Jeżeli chcesz wymnożyć dwa trójmiany kwadratowe używając współczynników nieoznaczonych
to wygodniej ci będzie usunąć wyraz z \(\displaystyle{ x^3}\) podstawiając \(\displaystyle{ y=x-\frac{1}{4}}\)
a następnie przypadek równania dwukwadratowego rozpatrzeć oddzielnie


Możesz też zapisać ten wielomian najpierw w postaci różnicy kwadratów a dopiero
później w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{3}-6x^{2}-4x+8=0\\
\left(x^{4}+x^{3} \right)-\left(6x^{2}+4x-8 \right)=0\\
\left(x^{4}+x^{3}+\frac{x^2}{4} \right)-\left(\frac{25}{4}x^{2}+4x-8 \right) =0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}\right)^2-\left(\frac{25}{4}x^{2}+4x-8 \right) =0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2-\left(\left(y+\frac{25}{4}\right)x^{2}+\left(\frac{y}{2}+4\right)x+\frac{y^2}{4}-8 \right) =0\\
\Delta=0\\
\left( y^2-32\right)\left( y+\frac{25}{4}\right)-\left( \frac{y}{2}+4\right)^2=0\\
y^3+\frac{25}{4}y^2-32y-200-\frac{y^2}{4}-4y-16=0\\
y^3+6y^2-36y-216=0\\
y^2\left(y+6\right)-36\left(y+6\right)=0\\
\left( y+6\right)\left(y^2-36\right)=0\\
y=-6\\
\left( x^2+\frac{x}{2}-3\right)^2-\left( \frac{1}{4}x^2+x+1\right)=0\\
\left( x^2+\frac{x}{2}-3\right)^2-\left( \frac{1}{2}x+1\right)^2=0\\
\left( \left(x^2+\frac{x}{2}-3 \right)-\left(\frac{1}{2}x+1 \right) \right)\left( \left(x^2+\frac{x}{2}-3 \right)+\left(\frac{1}{2}x+1 \right) \right)=0\\
\left( x^2-4\right)\left( x^2+x-2\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-2\right)\left( x+2\right)\left( x-1\right)=0\\}\)