Wielomiany cyklotomiczne, własności

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wielomian \(\displaystyle{ (x+1)^n+x^n+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x^2+x+1)^2}\)
Uwagi: mamy np. \(\displaystyle{ (x+1)^4+ x^4+1 = 2(x^2+x+1)^2}\)

To samo dla wielomianów \(\displaystyle{ (x+1)^n- x^n- 1}\) i \(\displaystyle{ (x^2- x+1)^2}\)

[Cytryn]

Dość łatwo pokazać przez indukcję, że (z plusami) podzielność zachodzi dla \(\displaystyle{ n = 6k+4}\). Może dla jakichś innych też?

[Premislav]

Wskazówka: liczby zespolone (choć pewnie można bez tego).

-- 19 kwi 2017, o 20:09 --

Wskazówka druga: np. w pierwszym by ta podzielność zachodziła, potrzeba i wystarcza, by pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) różne od \(\displaystyle{ 1}\) były pierwiastkami podwójnymi tego całego \(\displaystyle{ (x+1)^n+x^n+1}\). A jest taki fajny fakt wiążący krotności pierwiastków wielomianu z pierwiastkami jego pochodnych.

[kerajs]

I mówi on o zerowaniu się pochodnych z tego wielomianu dla obu zespolonych pierwiastków.
Dlatego dla pierwszego wielomianu (z plusami) \(\displaystyle{ n=3k+1}\), a dla drugiego (z minusami) \(\displaystyle{ n=6k+1}\) . I oczywista że \(\displaystyle{ k \in \NN_+}\)