Wielomian podzielny przez dwumian i pochodna

[Falwack]

Witam!
Ostatnio robiąc sobie zadania z wielomianów trafiłem na takie zadanko:

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-(p-1)x^{2}+(p+1)x-(p^2+p)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x-p)}\):
A. Tylko dla \(\displaystyle{ p=1}\)
B. Tylko dla \(\displaystyle{ p=-1}\) lub \(\displaystyle{ p=1}\)
C. Tylko dla \(\displaystyle{ p=-1}\)
D. Dla każdego \(\displaystyle{ p\in\RR}\).

No i tutaj pojawia się mała zagwozdka. Próbowałem to na początku zrobić sposobem \(\displaystyle{ W(p)=0}\), to mi wyszło, że \(\displaystyle{ p^{2}=0}\).
Później myślę, że podstawię sobie te odpowiedzi które mam, czyli pod \(\displaystyle{ p}\) jedynkę, minus jedynkę i sprawdzę. No to wyszło mi, że ani dla \(\displaystyle{ p=1}\) ani dla \(\displaystyle{ p=-1}\) ten wielomian po uproszczeniu nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) ani przez \(\displaystyle{ (x+1)}\). Więc w takim razie co tu będzie odpowiedzią? Pozostaje mi tylko odpowiedź D, no ale przecież jak może być podzielny przez każdą liczbę rzeczywistą, skoro nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 1}\) ani \(\displaystyle{ -1}\)?


A druga sprawa, ale nie chciałem już zakładać drugiego tematu w innym dziale to jest te zadanie:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{4-2x}}\) o dziedzinie \(\displaystyle{ D=(-\infty;2) \cup (2;+ \infty)}\). Określ wzór pochodnej tej funkcji.

No to liczę, liczę i liczę i wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-2x^{2}+8x-14}{(4-2x)^{2}}}\)
Próbowałem to jeszcze skracać przez \(\displaystyle{ 2}\) i w ostatecznym rozrachunku wychodzi mi \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-x^{2}+4x-7}{(2-x)^{2}}}\).

No i tu się pojawia pewien problem, bo odpowiedzi są takie: (ominę już tutaj znaczek \(\displaystyle{ f'(x)}\) )
A. \(\displaystyle{ \frac{2x-2}{2}}\)
B. \(\displaystyle{ \frac{-6x^{2}+16x-2}{(4-2x)^{2}}}\)
C. \(\displaystyle{ \frac{-2x^{2}+8x-14}{(2-x)^{2}}}\)
D. \(\displaystyle{ \frac{-x^{2}+4x-7}{2(x-2)^{2}}}\)

Czy ja gdzieś popełniłem błąd w obliczeniach, czy czegoś nie widzą, bądź czy też w samych odpowiedziach jest błąd?

[miodzio1988]

Odp D jest poprawna w tym drugim zadaniu. Pamiętaj, że:

\(\displaystyle{ (4-2x)^{2}=4(2-x)^2}\)

[Falwack]

Hmm no racja... Ale to było przynajmniej dla mnie trochę trudne do wywnioskowania/zauważenia. Może gdybym posiedział nad tym jeszcze chwilę..

A jak z pierwszym zadaniem?

[miodzio1988]

No to w zad 1 nie ma poprawnej odpowiedzi

[Rafsaf]

Twierdzenie Bézouta o podzielności przez dwumian jest jednoznaczne, aby był podzielny ten wielomian w zad 1 przez \(\displaystyle{ (x-p)}\), to jak zauważyłeś musi być spełnione\(\displaystyle{ W(p)=0}\). I nie ma innego wyjścia, to jest jedyna droga. Niepotrzebnie nawet sprawdzałeś te wartości dla liczb z odpowiedzi, nie mają prawa w takiej sytuacji wyjść skoro pierwiastkiem jest jedynie \(\displaystyle{ 0}\)

[Falwack]

Czyli tak jak sądziłem, nie było prawidłowej odpowiedzi wśród odpowiedzi do wyboru.

A tak dla pewności wolałem sprawdzić. Ot, żeby się upewnić.

W każdym razie dziękuję za odpowiedzi