Niby prosta nierówność

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić nierówność \(\displaystyle{ \frac{x^3-1}{3} \leq \frac{x^4-1}{4}}\) gdy \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{x^4+x^4+x^4+1}{4} \ge |x|^3 \ge x^3}\) z AM-GM. Po podzieleniu stronami przez trzy:
\(\displaystyle{ \frac{x^4}{4}+ \frac{1}{12} \ge \frac{x^3}{3}}\)
Zauważamy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{12}= \frac{1}{3}- \frac{1}{4}}\) i po zadaniu tak właściwie.
BTW Ja bym tego nie pisał łącznie.

[Zahion]

Ukryta treść:    

po wymnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 12}\) zwija się do \(\displaystyle{ \left( x-1\right)^{2}(3x^{2}+2x+1) \ge 0}\). Ładna.

[a4karo]

Jest prawdziwy ogólniejszy fakt:
jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła, to dla ustalonego \(\displaystyle{ y}\) iloczyn różnicowy \(\displaystyle{ g(s)=\frac{f(s)-f(y)}{s-y}}\) jest rosnący.

Nierówność w zadaniu to \(\displaystyle{ g(3)<g(4)}\) dla funkcji \(\displaystyle{ f(s)=x^s,\ y=0}\).

Proponuję coś z tej samej bajki:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{3}\frac{x^3-1}{x-1}\right)^{1/2}<\left(\frac{1}{4}\frac{x^4-1}{x-1}\right)^{1/3}}\)

EDIT: zmiana wykładników