pierwiastki wielomianu

[crin]

"Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ V(x)= x^{4} - 8x^{3} + 20x^{2} - 72x + 99}\), jeśli jednym z nich jest liczba czysto urojona."

Nie wiem w jaki sposób zacząć to zadanie (jeśli miałabym w poleceniu, że jednym z pierwiastków jest l. rzeczywista zrobiłabym bez problemu).

[a4karo]

Wskazówka: Jeżeli liczba \(\displaystyle{ ai}\) jest pierwiastkiem tego wielomiany, to \(\displaystyle{ -ai}\) też. Stąd wniosek, że wielomian dzieli sie przez \(\displaystyle{ x^2+a^2}\).

[crin]

Wskazówka: Jeżeli liczba \(\displaystyle{ ai}\) jest pierwiastkiem tego wielomiany, to \(\displaystyle{ -ai}\) też. Stąd wniosek, że wielomian dzieli sie przez \(\displaystyle{ x^2+a^2}\).

Rozumiem, jednak w jaki sposób ustalić \(\displaystyle{ a}\), czy jest to od czegoś zależne?

[a4karo]

Nic o nim nie wiesz na razie. Policz rozkład, to zobaczysz co wydzie. Jaki będzie drugi czynnik?

[crin]

Dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ x^{2}+a^{2}}\) otrzymałam \(\displaystyle{ (x^{2}-8x+20)(x^{2}+a^{2})+x^{2}a^{2}-8xa^{2}+20a^{2}-72x+99}\), czy o to chodziło?

[Premislav]

No nie do końca, bo reszta powinna być wielomianem niższego stopnia niż to, przez co dzielisz.
Jak już to poprawisz, to przyrównaj resztę do zera (jako równość wielomianów - skoro ten wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2+a^2}\), to reszta z dzielenia ma być wielomianem zerowym).

[Jan Kraszewski]

Nic o nim nie wiesz na razie. Policz rozkład, to zobaczysz co wydzie. Jaki będzie drugi czynnik?

A nie prościej policzyć \(\displaystyle{ V(ai)}\) i popatrzeć na część urojoną?

JK

[crin]

Nic o nim nie wiesz na razie. Policz rozkład, to zobaczysz co wydzie. Jaki będzie drugi czynnik?

A nie prościej policzyć \(\displaystyle{ V(ai)}\) i popatrzeć na część urojoną?

JK

Licząc tym sposobem wyszło mi, że częścią urojoną \(\displaystyle{ V(ai)}\) jest \(\displaystyle{ 8a^{3}i-72ai}\). Przyrównane do zera daje mi \(\displaystyle{ a=3 \vee a=-3}\), czy \(\displaystyle{ \pm 3i}\) są jednymi z urojonych pierwiastków tego wielomianu?

[Jan Kraszewski]

Licząc tym sposobem wyszło mi, że częścią urojoną \(\displaystyle{ V(ai)}\) jest \(\displaystyle{ 8a^{2}i-72ai}\).

Tak (poza tym, że wyszło \(\displaystyle{ 8a^{\red 3\black} i-72ai}\)), i wiesz, że dzieli się on przez \(\displaystyle{ x^2+9}\). Teraz możesz podzielić.

JK

[crin]

Z resztą zadania już sobie poradzę, dziękuję za pomoc