Dowód wielomiany

[Math321]

Witam mam do zrobienia pewien dowód i nie potrafię się za niego wziąć
Udowodnij że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ x^{4}-2x ^{3}-2x^{2}+9>0}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{\frac 1 2x^4+8}{2} \ge 2x^2\\ \frac{x^4+x^4+x^4+16}{4}\ge 2|x|^3 \ge 2x^3\\1>0}\)
Dodać stronami i wyjdzie.
Dwie pierwsze nierówności wynikają z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Pewnie można też zwinąć w kwadraty, ale ja nie umiem.


Jeżeli nie znasz nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, to możesz skorzystać z rachunku różniczkowego.

[a4karo]

Pochodna zeruje się w punktach \(\displaystyle{ 0, -1/2}\) i \(\displaystyle{ 2}\). W każdym z tych punktów wartość wielomianu jest dodatnia.

[MichalProg]

Nie jestem ekspertem, pierwszy raz pomagam, ale może tak:

\(\displaystyle{ x^{4}-2x ^{3}-2x^{2}+9>0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}(x ^{2} - 2x - 2) + 9 > 0}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 9 > 0}\)

Liczę deltę równania wewnątrz: \(\displaystyle{ \Delta = 4 + 8 = 12}\)
Skoro \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\), to wartość minimalna funkcji kwadratowej, w punkcie \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a} = 1}\) (\(\displaystyle{ a > 0}\)), wynosi \(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-12}{4} = -3}\)

Liczymy \(\displaystyle{ W(1) = 1 \cdot (-3) + 9 = -3 + 9 = 6 > 0}\)

Jest to, moim zdaniem, minimum globalne, a więc, skoro minimum globalne jest dodatnie, to cała funkcja też.

[a4karo]

Jest to, moim zdaniem, minimum globalne, a więc, skoro minimum globalne jest dodatnie, to cała funkcja też.

To nie musi być prawda: jeden z czynników może przeważyć. Jak spojrzysz na mój post, to łatwo wyliczysz gdzie jest minimum globalne

[MichalProg]

Faktycznie, chciałem zabłysnąć, ale nie pomyślałem do końca. Przepraszam.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ (x^2-x-2)^2+(x-2)^2+1}\)