Witam mam do zrobienia pewien dowód i nie potrafię się za niego wziąć
Udowodnij że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ x^{4}-2x ^{3}-2x^{2}+9>0}\)
Dowód wielomiany
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Dowód wielomiany
\(\displaystyle{ \frac{\frac 1 2x^4+8}{2} \ge 2x^2\\ \frac{x^4+x^4+x^4+16}{4}\ge 2|x|^3 \ge 2x^3\\1>0}\)
Dodać stronami i wyjdzie.
Dwie pierwsze nierówności wynikają z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Pewnie można też zwinąć w kwadraty, ale ja nie umiem.
Jeżeli nie znasz nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, to możesz skorzystać z rachunku różniczkowego.
Dodać stronami i wyjdzie.
Dwie pierwsze nierówności wynikają z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Pewnie można też zwinąć w kwadraty, ale ja nie umiem.
Jeżeli nie znasz nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, to możesz skorzystać z rachunku różniczkowego.
Ostatnio zmieniony 4 mar 2017, o 19:55 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dowód wielomiany
Pochodna zeruje się w punktach \(\displaystyle{ 0, -1/2}\) i \(\displaystyle{ 2}\). W każdym z tych punktów wartość wielomianu jest dodatnia.
-
- Użytkownik
- Posty: 411
- Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 1 raz
Dowód wielomiany
Nie jestem ekspertem, pierwszy raz pomagam, ale może tak:
\(\displaystyle{ x^{4}-2x ^{3}-2x^{2}+9>0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}(x ^{2} - 2x - 2) + 9 > 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 9 > 0}\)
Liczę deltę równania wewnątrz: \(\displaystyle{ \Delta = 4 + 8 = 12}\)
Skoro \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\), to wartość minimalna funkcji kwadratowej, w punkcie \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a} = 1}\) (\(\displaystyle{ a > 0}\)), wynosi \(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-12}{4} = -3}\)
Liczymy \(\displaystyle{ W(1) = 1 \cdot (-3) + 9 = -3 + 9 = 6 > 0}\)
Jest to, moim zdaniem, minimum globalne, a więc, skoro minimum globalne jest dodatnie, to cała funkcja też.
\(\displaystyle{ x^{4}-2x ^{3}-2x^{2}+9>0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}(x ^{2} - 2x - 2) + 9 > 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 9 > 0}\)
Liczę deltę równania wewnątrz: \(\displaystyle{ \Delta = 4 + 8 = 12}\)
Skoro \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\), to wartość minimalna funkcji kwadratowej, w punkcie \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a} = 1}\) (\(\displaystyle{ a > 0}\)), wynosi \(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-12}{4} = -3}\)
Liczymy \(\displaystyle{ W(1) = 1 \cdot (-3) + 9 = -3 + 9 = 6 > 0}\)
Jest to, moim zdaniem, minimum globalne, a więc, skoro minimum globalne jest dodatnie, to cała funkcja też.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Dowód wielomiany
To nie musi być prawda: jeden z czynników może przeważyć. Jak spojrzysz na mój post, to łatwo wyliczysz gdzie jest minimum globalneMichalProg pisze:
Jest to, moim zdaniem, minimum globalne, a więc, skoro minimum globalne jest dodatnie, to cała funkcja też.
Ostatnio zmieniony 4 mar 2017, o 20:11 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 411
- Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 1 raz