Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia

[Vidar]

\(\displaystyle{ 2\left(x^2-4\right)^2\left(x^4-10x^3+9x^2+52x+20\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

Czy to się robi w ten sam sposób jak wielomiany(tzn. rysuje oś, zaznaczam miejsca zerowe w tym przypadku
\(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\)
Moja odpowiedź to brak punktów przegięcia i f. jest wypukła dla \(\displaystyle{ f(x)>0}\), a dla \(\displaystyle{ f(x)<0}\) sprzeczność.
Zadanie jest zrobione poprawnie?

[Dilectus]

Nie.

Pokaż, jak liczysz.

[Vidar]

Ta funkcja, którą przedstawiłem wyżej to już jest pochodna pochodnej z \(\displaystyle{ (4-x ^{2})^{3} \cdot e^{-2x}}\)

Liczę to w taki sposób, że piszę równanie \(\displaystyle{ f(x)'' > 0}\), wyznaczam pierwiastki tego równania.
Moim zdaniem jest to \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\), ponieważ reszta nie daje pierwiastków.
Rysuję oś i zarówno \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\) są to pierwiastki podwójne, zaczynam rysować od prawej, skoro są podwójne to odbijam 2 razy, wiec nie mam zadnego wykresu pod osią.
Pozdrawiam

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ \left((4-x^2)^3\cdot\mathrm{e}^{-2x}\right)'{\red{\neq}}\;2\left(x^2-4\right)^2\left(x^4-10x^3+9x^2+52x+20\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

[a4karo]

• \(\displaystyle{ \left((4-x^2)^3\cdot\mathrm{e}^{-2x}\right)'{\red{\neq}}\;2\left(x^2-4\right)^2\left(x^4-10x^3+9x^2+52x+20\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

Niestety, autor napisał że to pochodna z pochodnej i kazał nam się domyślać o co biega.
Jasnowidzow to szuka, czy co?

[Vidar]

Chodziło mi o samo podsumowanie zadania, w którym trzeba było policzyć ekstrema, monotoniczności, wypuklosci, wkleslosci, punkty przegięcia.
Zatrzymałem się na tych ostatnich punktach, ale juz precyzuję.
To jest początkowa funkcja \(\displaystyle{ f(x) = (4-x ^{2})^{3} \cdot e^{-2x}}\)

To jest podwójna pochodna z powyższej funkcji czyli:
\(\displaystyle{ f(x)'' = 2\left(x^2-4\right)^2\left(x^4-10x^3+9x^2+52x+20\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

W jaki sposób sprawdzić wypukłość, wklęsłość tej funkcji.
Robię to w taki sposób:
Napisałem równanie \(\displaystyle{ f(x)''>0}\) jedyne miejsca zerowe, które występują to \(\displaystyle{ 2}\) oraz liczba \(\displaystyle{ -2}\).
Rysuję poziomą oś i zaznaczam na niej miejsca zerowe, przez to że są to podwójne pierwiastki odbijam i nie mam żadnej prostej poniżej mojej osi, skoro wszystkie są większe od zera wnioskuję, ze występują same wypukłości, brak wklęsłości i punktów przegięcia.

[a4karo]

Ta druga pochodna się nie zgadza (Wolfram tak twierdzi i ma rację)

[Vidar]

\(\displaystyle{ f(x)' = 2\left(x^2-4\right)^2\left(x^2-3x-4\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

\(\displaystyle{ f(x)'' = 2\left(x^2-4\right)^2\left(x^4-10x^3+9x^2+52x+20\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

[a4karo]

Pierwsza pochodna OK. Możesz pokazać jak liczysz drugą?

A wielomian \(\displaystyle{ x^4-10x^3+9x^2+52x+20}\) ma cztery pierwiastki rzeczywiste (ale to z zupełnie innej beczki)

[Vidar]

Ajj, pomyłka to powinno być tak:

\(\displaystyle{ -2\left(x^2-4\right)\left(2x^4-12x^3-x^2+48x+20\right)\mathrm{e}^{-2x}}\)

Ale ogólnie chodzi w jaki sposób podsumować, żeby móc okreslic tą wypukłość czy dobrze kombinowałem czy zupelnie nie na temat?
Pozdrawiam

[a4karo]

Musisz znależć pierwiastki tego wielomianu i obszary gdzie jest on dodatni i ujemny. To będą obszary wypukłości i wklęsłości. Wielomian czwartego stopnia ma na pewno miejsca zerowe, bo jego wartość w \(\displaystyle{ -1}\) jest ujemna. (wolfram pokazuje cztery pierwiastki rzeczywiste)

[Vidar]

Dzięki, w jaki sposób mogę określic pierwiastki tego wielomianu, zawsze korzystałem z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, ale widzę z obrazka, ze tu wychodzą jakieś połówki. W jaki sposób to znaleźć?
Pozdrawiam

[a4karo]

Ten wielomian nie ma pierwiastków wymiernych, więc masz do wyboru albo poszukać wzorów na pierwiastki (są koszmarne), albo zadowolić się wartościami przyblizonymi
... x%2B20%3D0

[PoweredDragon]

są dokładne formy pierwiastków (da się wyprowadzić z, jak a4karo wspomniał, koszmarnych wzorów

[SlotaWoj]

A jak to możliwe, że pokazuje jedynie dwa pierwiastki drugiej pochodnej, te z różnicy \(\displaystyle{ x^2-4}\), a ignoruje pierwiastki wielomianu czwartego stopnia?