Podzielność wielomianów z parametrem
Podzielność wielomianów z parametrem
Więc tak, mamy sobie jakiś tam wielomian. ma on w sobie parametry a i b. Muszę je wyznaczyć, tak aby wielomian był podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x)= x^{2} +25}\). Co w takiej sytuacji zrobić? Normalnie używa się wzoru skróconego mnożenia albo wyróżnika. Lecz co w takim przypadku?
-
kmarciniak1
- Użytkownik
- Posty: 809
- Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 183 razy
Podzielność wielomianów z parametrem
Czy podanie tego wielomianu jest zabronione? Bo jakiś tam wielomian to za wiele nie mówi...
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Podzielność wielomianów z parametrem
Można rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(i5)=0 \\ W(-i5)=0 \end{cases}}\)
ale pewnie liczb urojonych jeszcze nie znasz.
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(i5)=0 \\ W(-i5)=0 \end{cases}}\)
ale pewnie liczb urojonych jeszcze nie znasz.
Podzielność wielomianów z parametrem
Rzeczywiscie, wiem tylko trochę na tematy liczb urojonych. Lecz pokaż jak się takie równania robi. Matematyka, który jest "level" wyżej bardziej mnie intryguje i interesuje.
-- 25 lut 2017, o 18:15 --
Co do tego wielomianu to: \(\displaystyle{ W(x)=x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)}\)
podstawiając \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ -5}\) wychodzą mi brednie a odp musi wyjsc: \(\displaystyle{ a=5, b =4}\).
-- 25 lut 2017, o 18:15 --
Co do tego wielomianu to: \(\displaystyle{ W(x)=x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)}\)
podstawiając \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ -5}\) wychodzą mi brednie a odp musi wyjsc: \(\displaystyle{ a=5, b =4}\).
Ostatnio zmieniony 24 maja 2017, o 00:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
PoweredDragon
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Podzielność wielomianów z parametrem
\(\displaystyle{ W(x)=x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)}\)
Dzielenie wielomianów:
\(\displaystyle{ [x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)] : (x^2+25)}\)
To co ci wyjdzie w wyniku musi być równe 0
Dzielenie wielomianów:
\(\displaystyle{ [x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)] : (x^2+25)}\)
To co ci wyjdzie w wyniku musi być równe 0
Podzielność wielomianów z parametrem
Tylko jak to odejmowac? np -\(\displaystyle{ 25 ^{} x2 + (5b+3) ^{} x2}\)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Podzielność wielomianów z parametrem
Można także próbować z porównania:
\(\displaystyle{ x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)=(x^2+25)(x^2+cx+d)}\)
Wersja z liczbami urojonymi:
\(\displaystyle{ x^4 - (a-5)x^3 + (5b+3)x^2 - (b-4)x - (4a+5b+10)=(x^2+25)(x^2+cx+d)}\)
Wersja z liczbami urojonymi:
Ukryta treść:
Podzielność wielomianów z parametrem
Takie pytanie, w tej częsci urojonej, dlaczego w 3 nawiasie powstało \(\displaystyle{ i125}\) a nie \(\displaystyle{ -i125}\) na poczatku za \(\displaystyle{ 625}\)?
Ostatnio zmieniony 24 maja 2017, o 00:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Podzielność wielomianów z parametrem
\(\displaystyle{ (i5)^2=(i)^2 \cdot 5^2=(-1) \cdot 25=-25\\
(i5)^3=(i)^3 \cdot 5^3=(-i) \cdot 125=-i125\\
(i5)^4=(i)^4 \cdot 5^4=(1) \cdot 625=625}\)
\(\displaystyle{ (-i5)^2=(i)^2 \cdot (-5)^2=(-1) \cdot 25=-25\\
(-i5)^3=(i)^3 \cdot (-5)^3=(-i) \cdot (-125)=i125\\
(-i5)^4=(i)^4 \cdot (-5)^4=(1) \cdot 625=625}\)
Wersja z porównania wielomianów:
(i5)^3=(i)^3 \cdot 5^3=(-i) \cdot 125=-i125\\
(i5)^4=(i)^4 \cdot 5^4=(1) \cdot 625=625}\)
\(\displaystyle{ (-i5)^2=(i)^2 \cdot (-5)^2=(-1) \cdot 25=-25\\
(-i5)^3=(i)^3 \cdot (-5)^3=(-i) \cdot (-125)=i125\\
(-i5)^4=(i)^4 \cdot (-5)^4=(1) \cdot 625=625}\)
Wersja z porównania wielomianów:
Ukryta treść:
Podzielność wielomianów z parametrem
Dlaczego akurat te liczby urojone tak sie zachowują? W sensie w nieparzystych stają się ujemne. Od czego to zależy??-- 25 lut 2017, o 19:36 --Coś mi to nie chce wyjść. W sensie wychodzi za duży wyraz wolny o 40. ;/
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Podzielność wielomianów z parametrem
Przyjmij roboczo że:
\(\displaystyle{ i= \sqrt{-1}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ i^2= \sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1\\
i^3= \sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-1) \cdot \sqrt{-1}=-i\\
i^4= \sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-1) \cdot \sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-1) \cdot (-1)=1}\)
Można zauważyć że :
\(\displaystyle{ i=i^5=i^9=....=i^{4n+1}\\
-1=i^6=i^{10}=....=i^{4n+2}\\
-i=i^7=i^{11}=....=i^{4n+3}\\
1=i^8=i^{12}=....=i^{4n}}\)
Wybacz, ale nie chce się mi liczyć tego układu z urojonymi.
Przeliczyłem jednak, najszybszą moim zdaniem, wersję z porównania wielomianów i wynik był zgodny z książkowym.
\(\displaystyle{ i= \sqrt{-1}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ i^2= \sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1\\
i^3= \sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-1) \cdot \sqrt{-1}=-i\\
i^4= \sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-1) \cdot \sqrt{-1}\sqrt{-1}=(-1) \cdot (-1)=1}\)
Można zauważyć że :
\(\displaystyle{ i=i^5=i^9=....=i^{4n+1}\\
-1=i^6=i^{10}=....=i^{4n+2}\\
-i=i^7=i^{11}=....=i^{4n+3}\\
1=i^8=i^{12}=....=i^{4n}}\)
Wybacz, ale nie chce się mi liczyć tego układu z urojonymi.
Przeliczyłem jednak, najszybszą moim zdaniem, wersję z porównania wielomianów i wynik był zgodny z książkowym.
-
Dreamer357
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Re: Podzielność wielomianów z parametrem
Problem jest o tyle ciekawy, gdyż idealnie nadaję się do przedstawienia wzoru, który nie dawno odkryłem.
Mianowicie.
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{ax ^{n} }{x+y} =(-1) ^{k}ax ^{n-1}y ^{k}}\) przy czym \(\displaystyle{ nty}\)wyraz dzielimy przez \(\displaystyle{ x+y}\)
Liczymy to tak
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{2} +25= (x-5)(x+5)}\)
Teraz szukamy wielomiany z parametrami czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{ax ^{n} }{x+5} =(-1) ^{k}ax ^{n-1}5 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{bx ^{n} }{x+5} =(-1) ^{k}bx ^{n-1}-5 ^{k}}\)
Czyli. Przykładowo dla n od a =3 i n od b =2
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{x+5}=}\)
\(\displaystyle{ ({ax^2-5ax+25a- \frac{125a}{x+5} })+({bx-5b+\frac{25b}{x+5} })}\)
\(\displaystyle{ \frac{({ax^2-5ax+25a- \frac{125a}{x+5} })+({bx-5b+\frac{25b}{x+5} })}{x-5}}\)
\(\displaystyle{ ax-(-5)a+ \frac{25a}{x-5}- (5a-\frac{-25a}{x-5})+ \frac{25a}{x-5}+ \frac{125a}{(x+5)(x-5)}+b- \frac{-5b}{x-5} - \frac{5b}{x-5} +\frac{25b}{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
\(\displaystyle{ ax+ \frac{25a}{x-5}+\frac{125a+25b}{(x+5)(x-5)}+b}\)
Wzór działa dla dowolnej liczby n i jest wręcz idealny do tego typu zadań.
Mianowicie.
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{ax ^{n} }{x+y} =(-1) ^{k}ax ^{n-1}y ^{k}}\) przy czym \(\displaystyle{ nty}\)wyraz dzielimy przez \(\displaystyle{ x+y}\)
Liczymy to tak
\(\displaystyle{ Q(x)= x^{2} +25= (x-5)(x+5)}\)
Teraz szukamy wielomiany z parametrami czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{ax ^{n} }{x+5} =(-1) ^{k}ax ^{n-1}5 ^{k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=max stopień wielomianu}^{k=0} \frac{bx ^{n} }{x+5} =(-1) ^{k}bx ^{n-1}-5 ^{k}}\)
Czyli. Przykładowo dla n od a =3 i n od b =2
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{x+5}=}\)
\(\displaystyle{ ({ax^2-5ax+25a- \frac{125a}{x+5} })+({bx-5b+\frac{25b}{x+5} })}\)
\(\displaystyle{ \frac{({ax^2-5ax+25a- \frac{125a}{x+5} })+({bx-5b+\frac{25b}{x+5} })}{x-5}}\)
\(\displaystyle{ ax-(-5)a+ \frac{25a}{x-5}- (5a-\frac{-25a}{x-5})+ \frac{25a}{x-5}+ \frac{125a}{(x+5)(x-5)}+b- \frac{-5b}{x-5} - \frac{5b}{x-5} +\frac{25b}{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
\(\displaystyle{ ax+ \frac{25a}{x-5}+\frac{125a+25b}{(x+5)(x-5)}+b}\)
Wzór działa dla dowolnej liczby n i jest wręcz idealny do tego typu zadań.
-
Dreamer357
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 18 lip 2010, o 08:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowogrodziec
- Podziękował: 1 raz
Re: Podzielność wielomianów z parametrem
Dalej rozwinąłem ten wzór dla n pierwiastków i okazało się, że te przekształcenia są zbędne, czyli od razu otrzymamy wynik:
Czyli ogólny wzór:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{n} }{(x+a)(x+b)...(x+z)} =}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0} permutacja(a,b,c...,z) ^{k} x ^{n-lp-k}(-1) ^{k}}\)
dla n-lp-k<0 kolejno
\(\displaystyle{ \frac{permutacja(a,b,c...,z) ^{k}}{(x+a)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{permutacja(a,b,c...,z) ^{k}}{(x+a)(x+b)}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ \frac{permutacja(a,b,c...,z) ^{k}}{(x+a)(x+b)...(x+z-1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a ^{n} }{(x+a)(x+b)...(x+z)}}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c...,z)}\)- pierwiastki dzielnika
\(\displaystyle{ lp-}\) liczba pierwiastków
Czyli:
Czyli. Przykładowo dla n od a =3 i n od b =2
\(\displaystyle{ ax}\)
\(\displaystyle{ -(a(5-5) )}\)
\(\displaystyle{ +\frac{a(5 \cdot -5+5 ^{2} +(-5) ^{2} )}{(x+5)}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{a (5^{3}) }{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ +b}\)
\(\displaystyle{ - \frac{b(5 -5) }{x+5}}\)
\(\displaystyle{ +\frac{5 ^{2}b}{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
\(\displaystyle{ ax +b+ \frac{25a}{x-5}+ \frac{-125a+25b}{(x+5)(x-5)}}\)
Teraz ten wzór jest prostszy niż wasze przekształcenia.
-- 25 cze 2017, o 09:25 --
Przy okazji zauważyłem, że w pierwszych obliczeniach pominąłem minus.
-- 25 cze 2017, o 09:30 --
Da się jeszcze prościej:
Czyli wzór na
\(\displaystyle{ Permutacja(a,b,c...yz) ^{n}}\)=
\(\displaystyle{ kombinacja(a) ^{n-1}}\)\(\displaystyle{ (a+b+c...+y+z)+}\)
\(\displaystyle{ kombinacja(a,b) ^{n-1}}\)\(\displaystyle{ (b+c+...+y+z)+}\)
\(\displaystyle{ kombinacja(a,b,c) ^{n-1}}\)\(\displaystyle{ (c+...+y+z)+}\)
\(\displaystyle{ ....}\)
\(\displaystyle{ kombinacja(a,b,c...y) ^{n-1} (y+z)}\)
\(\displaystyle{ +z^{2} (permutacja(a,b,c,...,y,z) ^{n-2})}\)
Przy czym za permutację podstawiamy wzór, aż do uzyskania pierwszej potęgi.
Suma kombinacji dla danej potęgi jest permutacją, dla tej potęgi.
Tu chodzi jedynie o elementy z permutacji, które zawierają, nie powtarzające się elementy kombinacji.
-- 27 cze 2017, o 07:47 --
Wpadłem na coś, co diametralnie zmienia postrzeganie wielomianów, mianowicie
Dla n pierwiastków
Dla n pierwiastków
\(\displaystyle{ permutacja(a,b...z)=}\)
\(\displaystyle{ a \cdot permutacja(ab...yz)^{n-1}+ b \cdot permutacja(bc...yz) ^{n-1}+...+y \cdot permutacja(yz) ^{n-1} +z ^{n}}\)
Mnożymy kolejno permutacje przez a,b,..z jak widać na wzorze, a dalej mamy sumę kolejnych elementów, każda kolejna suma to permutacja dla n+1, dla większej liczby pierwiastków, aż do a...z-- 27 cze 2017, o 08:02 --Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
Permutacja dla:
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 5-5=0}\)
dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot (0)+(-5) ^{2}=25}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
\(\displaystyle{ ax- a0-+ \frac{25a}{x+5} - \frac{5 ^{3} }{(x+5)(x-5)}+b- \frac{a0}{x+5}+ \frac{a(-5) ^{2} }{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ ax +b+ \frac{25a}{x-5}+ \frac{-125a+25b}{(x+5)(x-5)}}\)
Trochę mały przykład, ale od razu widać piękny wzór
Czyli ogólny wzór:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{n} }{(x+a)(x+b)...(x+z)} =}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0} permutacja(a,b,c...,z) ^{k} x ^{n-lp-k}(-1) ^{k}}\)
dla n-lp-k<0 kolejno
\(\displaystyle{ \frac{permutacja(a,b,c...,z) ^{k}}{(x+a)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{permutacja(a,b,c...,z) ^{k}}{(x+a)(x+b)}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ \frac{permutacja(a,b,c...,z) ^{k}}{(x+a)(x+b)...(x+z-1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a ^{n} }{(x+a)(x+b)...(x+z)}}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c...,z)}\)- pierwiastki dzielnika
\(\displaystyle{ lp-}\) liczba pierwiastków
Czyli:
Czyli. Przykładowo dla n od a =3 i n od b =2
\(\displaystyle{ ax}\)
\(\displaystyle{ -(a(5-5) )}\)
\(\displaystyle{ +\frac{a(5 \cdot -5+5 ^{2} +(-5) ^{2} )}{(x+5)}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{a (5^{3}) }{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ +b}\)
\(\displaystyle{ - \frac{b(5 -5) }{x+5}}\)
\(\displaystyle{ +\frac{5 ^{2}b}{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
\(\displaystyle{ ax +b+ \frac{25a}{x-5}+ \frac{-125a+25b}{(x+5)(x-5)}}\)
Teraz ten wzór jest prostszy niż wasze przekształcenia.
-- 25 cze 2017, o 09:25 --
Przy okazji zauważyłem, że w pierwszych obliczeniach pominąłem minus.
-- 25 cze 2017, o 09:30 --
Da się jeszcze prościej:
Czyli wzór na
\(\displaystyle{ Permutacja(a,b,c...yz) ^{n}}\)=
\(\displaystyle{ kombinacja(a) ^{n-1}}\)\(\displaystyle{ (a+b+c...+y+z)+}\)
\(\displaystyle{ kombinacja(a,b) ^{n-1}}\)\(\displaystyle{ (b+c+...+y+z)+}\)
\(\displaystyle{ kombinacja(a,b,c) ^{n-1}}\)\(\displaystyle{ (c+...+y+z)+}\)
\(\displaystyle{ ....}\)
\(\displaystyle{ kombinacja(a,b,c...y) ^{n-1} (y+z)}\)
\(\displaystyle{ +z^{2} (permutacja(a,b,c,...,y,z) ^{n-2})}\)
Przy czym za permutację podstawiamy wzór, aż do uzyskania pierwszej potęgi.
Suma kombinacji dla danej potęgi jest permutacją, dla tej potęgi.
Tu chodzi jedynie o elementy z permutacji, które zawierają, nie powtarzające się elementy kombinacji.
-- 27 cze 2017, o 07:47 --
Wpadłem na coś, co diametralnie zmienia postrzeganie wielomianów, mianowicie
Dla n pierwiastków
Dla n pierwiastków
\(\displaystyle{ permutacja(a,b...z)=}\)
\(\displaystyle{ a \cdot permutacja(ab...yz)^{n-1}+ b \cdot permutacja(bc...yz) ^{n-1}+...+y \cdot permutacja(yz) ^{n-1} +z ^{n}}\)
Mnożymy kolejno permutacje przez a,b,..z jak widać na wzorze, a dalej mamy sumę kolejnych elementów, każda kolejna suma to permutacja dla n+1, dla większej liczby pierwiastków, aż do a...z-- 27 cze 2017, o 08:02 --Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
Permutacja dla:
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 5-5=0}\)
dla \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot (0)+(-5) ^{2}=25}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{ax^3+bx^2}{(x+5)(x-5)}=}\)
\(\displaystyle{ ax- a0-+ \frac{25a}{x+5} - \frac{5 ^{3} }{(x+5)(x-5)}+b- \frac{a0}{x+5}+ \frac{a(-5) ^{2} }{(x+5)(x-5)}}\)
\(\displaystyle{ ax +b+ \frac{25a}{x-5}+ \frac{-125a+25b}{(x+5)(x-5)}}\)
Trochę mały przykład, ale od razu widać piękny wzór