Dowód podzielności

[MrCommando]

Jak podejść do takiego zadania?

Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{2015}+x-1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)=x^2-x+1}\).

[szw1710]

Reszta z dzielenia wielomianu przez trójmian kwadratowy jest funkcją liniową, więc ma postać \(\displaystyle{ ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\). Można znaleźć zespolone pierwiastki dzielnika i rozwiązać odpowiedni układ równań wyznaczając \(\displaystyle{ a,b}\). To łatwe zadanie - wykorzystać można postać trygonometryczną liczby zespolonej.

Popatrzałem na wiek... może więc nie liczby zespolone, ale uwaga o reszcie pozostaje w mocy.

Ale przeprowadzając obliczenia zauważyłem, że pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^2-x+1}\) są też pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^{2015}+x-1.}\) To załatwia sprawę, choć trzeba by to umieć pokazać.

[Premislav]

A może coś takiego:
\(\displaystyle{ x^{2015}+x-1=(x^2-x+1) \sum_{k=0}^{2013}(-1)^{k+1}x^k}\)


Pozostaje to wykazać. Chyba się nie machnąłem, licząc to w pamięci. Jednakoż w pewnym sensie lepsza (bo bardziej uniwersalna) jest metoda z pierwiastkami zespolonymi i znajdowaniem reszty.

[szw1710]

\(\displaystyle{ (x^{2015}+x-1)+(x^2-x+1)=x^2(x^{2013}+1)}\) więc wystarczyłoby pokazać, że wielomian \(\displaystyle{ x^{2013}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\). Tu jest większe pole manewru.

[Premislav]

Nie widzę jakoś tego większego pola manewru (pewnie coś mi umyka). Co ma Pan na myśli?

[MrCommando]

Teoretycznie na studiach jeszcze nie jestem, ale o pewnych pojęciach typu całki, liczby zespolone pojęcie jako takie mam. Aczkolwiek zadanie jest skierowane do licealistów, więc odrzuciłem taką metodę i myślałem o bardziej standardowych na tym poziomie. Ale jeśli wykorzystać liczby zespolone, to bym to widział tak:

Wyznaczymy pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^2-x+1=0}\). Mamy \(\displaystyle{ \Delta=-3}\). Zatem:
\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)

Po obliczeniu modułów i argumentów obydwu pierwiastków możemy je zapisać w postaci trygonometrycznej (po to, aby później łatwiej podnieść do wysokiej potęgi):

\(\displaystyle{ x_1=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ x_2=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}}\)

Obliczamy wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) dla obydwu pierwiastków (tutaj wzór de Moivre'a).
\(\displaystyle{ W(x_1)=\left( \cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right) ^{2015} +\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3} -1= \\ =\cos \frac{10075\pi}{3}+i\sin \frac{10075\pi}{3}+\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}-1= \\ =\cos(3358\pi+\frac{\pi}{3})+i\sin(3358\pi+\frac{\pi}{3})+\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}-1= \\ = \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}+\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}-1= \\ = i\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}-1=0}\)

Analogiczne obliczenia przeprowadzamy dla drugiego z pierwiastków. Skoro obydwa pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), to z tego wynika, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)}\). Dziękuję za naprowadzenie

[szw1710]

Nie widzę jakoś tego większego pola manewru (pewnie coś mi umyka). Co ma Pan na myśli?

Sumę sześcianów...

[Premislav]

Faktycznie, nie zauważyłem, że liczba \(\displaystyle{ 2013}\) dzieli się przez trzy (a przecież suma cyfr...). Dziękuję za wyjaśnienie.

[MrCommando]

Jeśli dobrze rozumiem, to ma Pan na myśli:

\(\displaystyle{ x^{2013}+1=(x^3)^{671}+1=(x^3+1)(x^{2010}-x^{2007}+x^{2004}-...+1)= \\ = (x+1)(x^2-x+1)(x^{2010}-x^{2007}+x^{2004}-...+1)}\).

Wszystko jasne, dziękuję za alternatywne rozwiązanie

[szw1710]

I przy okazji mamy to co proponował wykazać Premislav.