Udowodnij, że wielomian nie ma pierwiastków wielokrotnych

[jabol97]

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) wielomian:
\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}}\)
nie ma pierwiastków wielokrotnych.
Z góry dziękuję za pomoc.

[kerajs]

W pierwiastku wielokrotnym pochodna się zeruje:
\(\displaystyle{ f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}\\
f'(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}\)
Zakładam że \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem wielokrotnym f(x). Wtedy powinno
zachodzić:
\(\displaystyle{ \begin{cases}1+\frac{x_0}{1!}+\frac{x_0^{2}}{2!}+...+\frac{x_0^{n}}{n!}=0 \\ 1+\frac{x_0}{1!}+\frac{x_0^{2}}{2!}+...+\frac{x_0^{n-1}}{(n-1)!}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0+\frac{x_0^{n}}{n!}=0 \\ 1+\frac{x_0}{1!}+\frac{x_0^{2}}{2!}+...+\frac{x_0^{n-1}}{(n-1)!}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=0 \\ 1+\frac{0}{1!}+\frac{0^{2}}{2!}+...+\frac{0^{n-1}}{(n-1)!}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_0=0 \\ 1=0 \end{cases}}\)
układ sprzeczny więc założenie o wielokrotności pierwiastków jest nieprawdziwe.