Wielomian pierwiastki wielokrotne

[mint18]

Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-3x^2+3x+m}\) ma pierwiastek dwukrotny?

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ W'(x)= 3x^2 -6x + 3}\)
\(\displaystyle{ W'(x)=0 \Leftrightarrow x=1}\)
Więc jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to musi być nim liczba \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ W(1)=0}\), a stąd \(\displaystyle{ m=-1}\)
Okazuje się, że dla \(\displaystyle{ m=-1}\), \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^3}\) czyli liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest nawet trzykrotnym pierwiastkiem.

W takim razie czy odpowiedź: \(\displaystyle{ m=-1}\) spełnia warunki zadania, jest poprawna?

[Premislav]

Tak.

[mint18]

... _wielomia/

To w końcu liczba 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym czy trzykrotnym?

[piasek101]

Odpowiedź w zadaniu jest błędna - pierwiastek dwukrotny nie może być trzykrotnym.

Jeśli \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym to zachodzi (jednocześnie):
\(\displaystyle{ W(x_0)=0}\)

\(\displaystyle{ W'(x_0)=0}\)

\(\displaystyle{ W''(x_0)\neq 0}\)