3 zadanka z wielomianów

[RyHoO16]

1. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ Q(x)=x^4+x^3-x-1}\) wynosi \(\displaystyle{ x^3+x^2+x+2}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu\(\displaystyle{ W(x)}\) przez\(\displaystyle{ x^2-1}\)

2. Uzasadnij, zę dla każdego \(\displaystyle{ n N \ i \ a R}\) dwumian \(\displaystyle{ x-a}\) jest dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^n-a^n}\)

3. Uzasadnij, że dla każdej pary liczb rzeczywistych a,b dwumian\(\displaystyle{ x+(a+b)}\) jest dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+a^3+b^3+3ab(a+b)}\)

Jak by ktoś mógł to niech wytłumacz swój tok myślenia po kolei.

Za wszelkie odp. wielkie ThX

[setch]

1.
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b\\
x^2-1=(x-1)(x+1)\\
W(x)=S(x)Q(x)+x^3+x^2+x+2\\
W(x)=P(x)(x-1)(x+1)+ax+b\\
W(1)=S(1)Q(1)+1+1+1+2=S(1)\cdot 0+5=5\\
W(1)=P(1)\cdot 0\cdot 2+a+b=a+b\\
W(-1)=S(-1)Q(-1)-1+1-1+2=1\\
W(-1)=P(-1)\cdot (-2) 0-a+b=-a+b\\
\begin{cases} a+b=5\\-a+b=1\end{cases}}\)

R(x) - reszte z dzielenia wielomianu
S(x),P(x) - jakieś wielomiany

2.
Z twierdzenia Bezout
\(\displaystyle{ W(a)=a^n-a^n=0}\), zatem W(x) jest podzielny przez x-a

[Lorek]

3 też Bezout tylko pierwiastek inny

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ Q(x)=x^3(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^3-1)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)\\
R_1(x)=x^3+x^2+x+2\\
W(x)=Q(x)\cdot S(x)+R_1(x)\\
W(x)=S(x)\cdot (x+1)(x-1)(x^2+x+1)+x^3+x^2+x+2\\
W(-1)=1\\
W(1)=5\\
T(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)
W(x)=P(x)\cdot T(x)+R_2(x)\\
R_2(x)=ax+b\\
W(x)=P(x)\cdot (x-1)(x+1)+ax+b\\
W(-1)=-a+b\\
W(1)=a+b\\
\begin{cases} -a+b=1\\a+b=5\end{cases} \\
2b=6\ \ \ b=3\\
a=5-b\ \ \ a=2\\
R_2(x)=2x+3}\)

Ehh.. Juz ktos mnie uprzedzil
POZDRO

[RyHoO16]

Wszystko wiem jak zrobić tylko nie wiem jak określić resztę R2 czyli ,że resztą jest tu akurat ax+b tak ja napisał soku11

[soku11]

Reszta jest nizszego stopnia od najwyzszego stopnia wielomianu przez ktory dzielimy W tym wypadku od \(\displaystyle{ x^2-1}\), czyli \(\displaystyle{ ax=b}\). POZDRO

[RyHoO16]

Wielkie dzięki za pomocną dłoń