Wielomian, pierwiastki zespolone

[RafalBilkowski]

Cześć, serdecznie prosiłbym o wytłumaczenie jednej rzeczy. Mając zadanie tego typu:
Pokazać, ze jeżeli liczba zespolona \(\displaystyle{ z_1}\) jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego \(\displaystyle{ P}\), to sprzężenie liczby \(\displaystyle{ z_1}\) takze jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P}\). Korzystając z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu \(\displaystyle{ P (x) = x^4 + 12x^2 - 16x+15}\) wiedząc, ze jednym z nich jest \(\displaystyle{ x_1 = 1+2i}\)
Rozumiem jak to zrobić jedyny problem sprawia mi udowodnienie tego że liczba sprzężona także jest pierwiastkiem wielomianu, teoretycznie mógłbym ją podstawić ale wtedy rachunki stają się dość nieprzyjemne. Mógłbym prosić o wytłumaczenie jakiegoś łatwiejszego sposobu na udowodnienie takiego warunku? Z góry dziękuje za pomoc i poświęcony czas

@edit przepraszam za nieskorzystanie z latexa, jakoś kompletnie mi to z głowy wypadło, dziękuje za poprawienie

[Premislav]

Ponieważ \(\displaystyle{ 0=P(z_1)}\), więc
\(\displaystyle{ 0=2\Re \left\{P(z_1)\right\}=P(z_1)+P(\overline z_1)}\), ale z założenia \(\displaystyle{ P(z_1)=0,}\) więc...-- 26 sty 2017, o 19:54 --Kluczowy, poza skorzystaniem z założeń zadania, jest tutaj fakt, że dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ P}\) o współczynnikach rzeczywistych i dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) mamy
\(\displaystyle{ P(\overline z)=\overline {P(z)}}\). W zasadzie sam z siebie nie jest on oczywisty i wymaga dowodu...

[RafalBilkowski]

Stop, przepraszam pogubiłem się zupełnie. Mógłbym cię prosić o trochę bardziej łopatologiczne wyjaśnienie? \(\displaystyle{ 0=2\Re \left\{P(z_1)\right\}=P(z_1)+P(\overline z_1)}\) nie do końca rozumiem tą część

[Premislav]

Wartość wielomianu \(\displaystyle{ P}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_1}\).

Dalej korzystam z tego, że \(\displaystyle{ z+\overline z=2\Re z}\), łatwo to widać, gdy sobie rozpiszesz. Gorzej z tym
\(\displaystyle{ P(\overline z)=\overline {P(z)}}\) dla wielomianu \(\displaystyle{ P}\) o współczynnikach rzeczywistych i dowolnego \(\displaystyle{ z}\) zespolonego, dla mnie jest to intuicyjnie oczywiste, ale zgrabnego dowodu nie znam.
Można przez indukcję, ale trochę nie chce mi się tego pisać. Można też zrobić dla jednomianów, korzystając z postaci trygonometrycznej, a następnie przedstawić "ogólny" wielomian w postaci sumy jednomianów i skorzystać z naturalnego rozszerzenia tego, że \(\displaystyle{ \overline{z+w}=\overline z+\overline w.}\)

[RafalBilkowski]

Wątpię żeby niestety intuicja wystarczyła na kolokwium :/. Staram się znaleźć jakiś dość prosty dowód, oczywiście można by to podstawić, z tym wielomianem może bym sobie jeszcze poradził ale to trochę strata czasu a jeśli dostałbym wielomian ntego stopnia to już w ogóle była by katastrofa

[Premislav]

Ja widzę, jak przebiegałby dowód z użyciem rozbicia na jednomiany i postaci trygonometrycznej, ale nie chce mi się go pisać, bo to standardowe przekształcenia, które sto razy pojawiały się na forum. Zaproponuję więc troszkę inną metodę: dzielenie wielomianów z resztą.



Podzielmy z resztą wielomian \(\displaystyle{ P}\) przez \(\displaystyle{ (z-\overline z_1)(z-z_1)}\)
i dostaniemy
\(\displaystyle{ P(z)=(z-\overline z_1)(z-z_1)R(z)+az+b}\) - to jest równość wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, bo łatwo się przekonać bezpośrednim rachunkiem, że
\(\displaystyle{ (z-\overline z_1)(z-z_1)}\) ma współczynniki rzeczywiste.
Podstawiając do tej równości \(\displaystyle{ z:=z_1}\) dostaniemy \(\displaystyle{ az_1+b=0}\) - pamiętaj, że z_1 zespolone oraz \(\displaystyle{ a,b}\) rzeczywiste. Wywnioskuj stąd, że
\(\displaystyle{ a\overline z_1+b=0}\).

[RafalBilkowski]

Dzięki wielkie, chyba rozumiem, po prostu udowadniam że reszta z dzielenia wielomianu przez te pierwiastki jest równa 0. Taki dowód powinien być chyba wystarczający?