dość trudne z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 24 sty 2017, o 01:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
dość trudne z parametrem
Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x^{2}+ax+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=-6}\) ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest równa \(\displaystyle{ 7}\).
Ostatnio zmieniony 24 sty 2017, o 09:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie wyłączaj BBCode!
Powód: Nie wyłączaj BBCode!
-
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 3 lut 2015, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
dość trudne z parametrem
Dodaj spacje przed ułamkami bo Ci się Latex popsuł
\(\displaystyle{ x^{2}+ax+ \frac{a}{x} + \frac{1}{x^{2}}=-6}\)
Niech \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x}}\) wtedy \(\displaystyle{ t^{2}=x^{2}+2+ \frac{1}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2+at=-6 \\
t^{2}+at+4=0 \\
\Delta > 0 \\
a^{2}-16>0 \Rightarrow a \in (- \infty ,-4) \cup (4,+ \infty ) \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7 \\
(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=7}\)
Teraz wzory Viete'a, wyjdą dwa wyniki ale trzeba jeszcze je sprawdzić (podstawić \(\displaystyle{ a}\) do równania z \(\displaystyle{ t}\) i policzyć miejsca zerowe) ponieważ \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x} \ge 2}\) dla liczb dodatnich bo
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} \ge 2 \\
x^{2}-2x+1 \ge 0 \\
(x-1)^{2} \ge 0}\)
Czyli powinno być \(\displaystyle{ t \in (- \infty ,0) \cup \langle 2,+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ax+ \frac{a}{x} + \frac{1}{x^{2}}=-6}\)
Niech \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x}}\) wtedy \(\displaystyle{ t^{2}=x^{2}+2+ \frac{1}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2+at=-6 \\
t^{2}+at+4=0 \\
\Delta > 0 \\
a^{2}-16>0 \Rightarrow a \in (- \infty ,-4) \cup (4,+ \infty ) \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7 \\
(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=7}\)
Teraz wzory Viete'a, wyjdą dwa wyniki ale trzeba jeszcze je sprawdzić (podstawić \(\displaystyle{ a}\) do równania z \(\displaystyle{ t}\) i policzyć miejsca zerowe) ponieważ \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x} \ge 2}\) dla liczb dodatnich bo
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} \ge 2 \\
x^{2}-2x+1 \ge 0 \\
(x-1)^{2} \ge 0}\)
Czyli powinno być \(\displaystyle{ t \in (- \infty ,0) \cup \langle 2,+ \infty )}\)
Ostatnio zmieniony 24 sty 2017, o 09:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.