Czy twierdzenie jest już znane

drempi · Post autor: **drempi** » 8 sty 2017, o 13:16

Witam - chciałbym się jedynie zapytać, czy zostało już kiedyś odkryte takie twierdzenie:

Jeśli pierwiastkami wielomianu $\displaystyle{ a_{n} x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a_{1} x + a_{0}}$ , gdzie $\displaystyle{ a_{n} = 1}$ , są tylko liczby rzeczywiste ujemne, to nie istnieje taka liczba naturalna $\displaystyle{ i}$ z przedziału $\displaystyle{ (0, n)}$ , że $\displaystyle{ a_{i} \le a_{i - 1}}$ oraz $\displaystyle{ a_{i} \le a_{i + 1}}$ .

Jeśli nie, to z chęcią napisałbym dowód takiego twierdzenia

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 8 sty 2017, o 13:32

A napisz chętnie popatrzę

drempi · Post autor: **drempi** » 8 sty 2017, o 16:32

Oto dowód:

Na początku ustalmy ciąg dodatnich liczb rzeczywistych $\displaystyle{ r}$ składający się z $\displaystyle{ n}$ elementów, który będzie oznaczać przeciwieństwa pierwiastków wielomianu

$\displaystyle{ a_{n} x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a_{1} x + a_{0}}$

w którym $\displaystyle{ a_{n} = 1}$. Mamy więc:

$\displaystyle{ (x - (- r_{0}))(x - (- r_{1}))...(x - (- r_{n - 1})) = (x + r_{0})(x + r_{1})...(x + r_{n - 1}) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a_{1} x + a_{0}}$

Teraz ustalmy liczbę całkowitą $\displaystyle{ w}$ z przedziału $\displaystyle{ (0, n)}$. Jeśli ciąg $\displaystyle{ r}$ posiada mniej niż 2 elementy, to nie istnieje żadne całkowite $\displaystyle{ w}$ w przedziale $\displaystyle{ (0, n)}$. W takim razie można uznać, że twierdzenie jest prawdziwe dla ciągu $\displaystyle{ r}$ mającego mniej niż 2 elementy. Z tego powodu założymy teraz, że ciąg $\displaystyle{ r}$ składa się z conajmniej 2 wyrazów. Teraz ustalmy $\displaystyle{ r_{0} = t}$ (ta liczba jest rzecz jasna dodatnia, co będzie później bardzo ważne) oraz ustalmy ciąg $\displaystyle{ p}$ , który jest ciągiem $\displaystyle{ r}$ , ale nie posiadającym w sobie elementu $\displaystyle{ t}$ . Ustalimy jeszcze jeden ciąg $\displaystyle{ b}$ , który oznacza taki wielomian, że:

$\displaystyle{ (x - (- p_{0}))(x - (- p_{1}))...(x - (- p_{n - 2})) = (x + p_{0})(x + p_{1})...(x + p_{n - 2}) = b_{n - 1} x^{n - 1} + b_{n - 2} x^{n - 2} + b_{n - 3} x^{n - 3} + ... + b_{1} x + b_{0}}$

Jak możemy zauważyć, mamy $\displaystyle{ b_{n - 1} = 1}$. Teraz przekształcamy:

$\displaystyle{ (x + r_{0})(x + r_{1})...(x + r_{n - 1}) = (x + t)(x + p_{0})(x + p_{1})...(x + p_{n - 2}) =}$
$\displaystyle{ (x + t)(b_{n - 1} x^{n - 1} + b_{n - 2} x^{n - 2} + b_{n - 3} x^{n - 3} + ... + b_{1} x + b_{0}) = b_{n - 1} x^n + (t \cdot b_{n - 1} + b_{n - 2}) x^{n - 1} + (t \cdot b_{n - 2} + b_{n - 3}) x^{n - 2} + ... + (t \cdot b_{1} + b_{0}) x + t \cdot b_{0}}$

W związku z tym, że powyższe wyrażenie jest równe:

$\displaystyle{ a_{n} x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a_{1} x + a_{0}}$

to możemy zapisać:

$\displaystyle{ a_{w} = t \cdot b_{w} + b_{w - 1}}$

Mając to wszystko za sobą możemy przejść do właściwej części dowodu - a opiera się on na matematycznej indukcji. Jak już powiedzieliśmy, jeśli ciąg $\displaystyle{ r}$ składa się z 1 elementu, to twierdzenie jest dla niego prawdziwe. Założymy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla ciągu $\displaystyle{ p}$ (spełnia on założenia). Załóżmy, że $\displaystyle{ a_{w} \le a_{w - 1}}$ oraz $\displaystyle{ a_{w} \le a_{w + 1}}$ . Pokażemy, że prowadzi to do sprzeczności. Przekształcamy nierówności:

$\displaystyle{ a_{w} \le a_{w - 1} \Rightarrow t \cdot b_{w} + b_{w - 1} \le t \cdot b_{w - 1} + b_{w - 2} \Rightarrow t \cdot \left(b_{w} - b_{w - 1} \right) \le b_{w - 2} - b_{w - 1}}$

$\displaystyle{ a_{w} \le a_{w + 1} \Rightarrow t \cdot b_{w} + b_{w - 1} \le t \cdot b_{w + 1} + b_{w} \Rightarrow t \cdot \left(b_{w} - b_{w + 1} \right) \le b_{w} - b_{w - 1}}$

W tym momencie są 2 możliwości:

1. $\displaystyle{ b_{w} - b_{w - 1} > 0}$

Wtedy możemy dalej przekształcać pierwszą z nierówności:

$\displaystyle{ t \cdot \left(b_{w} - b_{w - 1} \right) \le b_{w - 2} - b_{w - 1} \Rightarrow t \le \frac{b_{w - 2} - b_{w - 1}}{b_{w} - b_{w - 1}}}$

Teraz zauważmy, że jeśli wyrażenie w liczniku jest niedodatnie, to z racji, że samo $\displaystyle{ t}$ jest dodatnie, otrzymujemy sprzeczność. Z drugiej strony, jeśli wyrażenie w liczniku jest dodatnie, to otrzymujemy takie 2 nierówności:

$\displaystyle{ b_{w} - b_{w - 1} > 0 \wedge b_{w - 2} - b_{w - 1} > 0 \Rightarrow b_{w} > b_{w - 1} \wedge b_{w - 2} > b_{w - 1}}$

Ale drogą indukcji założyliśmy, że nie ma takiego całkowitego $\displaystyle{ v}$ z przedziału $\displaystyle{ (0, n - 1)}$ , że $\displaystyle{ b_{v + 1} \ge b_{v}}$ oraz $\displaystyle{ b_{v - 1} \ge b_{v}}$ , a więc (poza jednym przypadkiem) znowu otrzymaliśmy sprzeczność. Tym przypadkiem jest, kiedy $\displaystyle{ w = 1}$ , ale widzimy wtedy, że nierówność $\displaystyle{ b_{-1} > b_{0}}$ nie jest spełniona, bo $\displaystyle{ b_{0} > 0}$ , a jeślibyśmy szukali takiego $\displaystyle{ b_{-1}}$ , aby prawdziwa była zależność:

$\displaystyle{ a_{0} = t \cdot b_{0} + b_{-1}}$

na której się opieraliśmy, to okazałoby się, że $\displaystyle{ b_{-1} = 0}$ . W takim razie możemy przejść do drugiej możliwości.

2. $\displaystyle{ b_{w} - b_{w - 1} \le 0}$

Wtedy możemy dalej przekształcać drugą z nierówności:

$\displaystyle{ t \cdot \left(b_{w} - b_{w + 1} \right) \le b_{w} - b_{w - 1}}$

Teraz zauważmy, że jeśli mamy $\displaystyle{ b_{w} - b_{w + 1} > 0}$ to możemy przekształcić:

$\displaystyle{ t \le \frac{b_{w} - b_{w - 1}}{b_{w} - b_{w + 1}}}$

Ale wtedy wyrażenie po prawej stronie jest liczbą niedodatnią, a skoro $\displaystyle{ t}$ jest dodatnie, to otrzymujemy sprzeczność. Z drugiej strony jeśli mamy $\displaystyle{ b_{w} - b_{w + 1} \le 0}$ , to otrzymujemy 2 nierówności:"

$\displaystyle{ b_{w} - b_{w - 1} \le 0 \wedge b_{w} - b_{w + 1} \le 0 \Rightarrow b_{w - 1} \ge b_{w} \wedge b_{w + 1} \ge b_{w}}$

Ale drogą indukcji założyliśmy, że nie istnieje takie całkowite $\displaystyle{ v}$ z przedziału $\displaystyle{ (0, n - 1)}$ , że $\displaystyle{ b_{v - 1} \ge b_{v}}$ oraz $\displaystyle{ b_{v + 1} \ge b_{v}}$ , a więc (poza jednym przypadkiem) znowu otrzymaliśmy sprzeczność. Ten przypadek, to kiedy $\displaystyle{ w = n - 1}$ . Wtedy jednak zauważamy, że nierówność $\displaystyle{ b_{n} \ge b_{n - 1}}$ nie jest spełniona, bo $\displaystyle{ b_{n - 1} = 1}$ , a jeślibyśmy szukali takiego $\displaystyle{ b_{n}}$ , aby prawdziwa była zależność:

$\displaystyle{ a_{n} = t \cdot b_{n} + b_{n - 1}}$

na której się opieraliśmy, to okazałoby się, że $\displaystyle{ b_{n} = 0}$ . W takim razie dzięki matematycznej indukcji pokazaliśmy, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla ciągu $\displaystyle{ p}$ złożonego z $\displaystyle{ n - 1}$ elementów, to jest też prawdziwe dla ciągu $\displaystyle{ r}$ złożonego z $\displaystyle{ n}$ elementów. Ostatecznie więc twierdzenie jest prawdziwe dla ciągu złożonego z dowolnej liczy elementów, czyli dowód skończony.

No, choć nie jest to w 100% kompletny dowód, to myślę, że oddaje cały pomysł

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 8 sty 2017, o 17:31

Najpierw próbowałem rozwikłać samą tezę , postarałem się ją przetłumaczyć na wersję dla mnie strawną i otrzymałem poprzez zaprzeczenie, że:

Wielomian, który ma pierwiastki ujemne , oraz $\displaystyle{ a_{n}=1}$ to jego wspólczynniki tworzą ciąg ściśle rosnący albo ściśle malejący , czyli:

$\displaystyle{ a_{0}>a_{1}>a_{2}>...>a_{n}}$

lub:

$\displaystyle{ a_{0}<a_{1}<a_{2}<...<a_{n}}$

A teraz mnie popraw jak się mylę.

drempi · Post autor: **drempi** » 8 sty 2017, o 17:35

Nie np. możemy wziąć wielomian:

$\displaystyle{ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = (x - (-1))(x -(-2))}$

I wtedy nie otrzymujemy takiego ciągu ściśle rosnącego ani malejącego.

P.S. Zauważyłem drobną pomyłkę w dowodzie, już poprawiam.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 8 sty 2017, o 17:46

No właśnie a więc czy teza jest poprawna?

drempi · Post autor: **drempi** » 8 sty 2017, o 17:46

Moja teza - tak, twoja - nie.

pasman · Post autor: **pasman** » 8 sty 2017, o 18:00

drempi pisze:Witam - chciałbym się jedynie zapytać, czy zostało już kiedyś odkryte takie twierdzenie:

Jeśli pierwiastkami wielomianu $\displaystyle{ a_{n} x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a_{1} x + a_{0}}$ , gdzie $\displaystyle{ a_{n} = 1}$ , są tylko liczby rzeczywiste ujemne, to nie istnieje taka liczba naturalna $\displaystyle{ i}$ z przedziału $\displaystyle{ (0, n)}$ , że $\displaystyle{ a_{i} \le a_{i - 1}}$ oraz $\displaystyle{ a_{i} \le a_{i + 1}}$ .

twierdzenie ciekawe, ale mało przydatne.

zwykle znamy współczynniki $\displaystyle{ a_{n}}$ a nie znamy rozwiązań.
natomiast twierdzenie zakłada że znamy rozwiązania, a szukamy $\displaystyle{ a_{n}}$.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 8 sty 2017, o 19:22

$\displaystyle{ \sim \bigvee\limits_{i\in (0;n)} : a_{i} \le a_{i-1} \wedge a_{i} \le a_{i+1}}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \bigwedge\limits_{i\in (0;n)} : a_{i}>a_{i-1} \vee a_{i} > a_{i+1}}$

Ja to tak rozumiem więc dalej mi się to kłóci z rzeczywistością może niech mnie ktoś oświeci.

pasman · Post autor: **pasman** » 8 sty 2017, o 20:05

arek1357 pisze: Ja to tak rozumiem więc dalej mi się to kłóci z rzeczywistością może niech mnie ktoś oświeci.

nie wiem czy to możliwe

spójrz na to tak: skoro pierwiastki wielomianu mają być ujemne,
to opuszczając nawiasy w jego postaci iloczynowej
$\displaystyle{ w(x) = (x-x_1)(x-x_2)...}$
otrzymamy same współczynniki dodatnie.
Współczynnik
$\displaystyle{ a_n=1}$.
Z tezy współczynnik

$\displaystyle{ a_{n-1}= \sum_i {|x_i|} \le a_n= 1}$.

Kolejne współczynniki to sumy iloczynów kombinacji 2,3...n pierwiastków.
Wystarczy zauważyć że iloczyny te przy zachowaniu ostatniej nierówności
wystarczająco szybko maleją i ich suma nie może wzrosnąć.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 sty 2017, o 20:57

pasman pisze:
arek1357 pisze: Ja to tak rozumiem więc dalej mi się to kłóci z rzeczywistością może niech mnie ktoś oświeci.
nie wiem czy to możliwe

spójrz na to tak: skoro pierwiastki wielomianu mają być ujemne,
to opuszczając nawiasy w jego postaci iloczynowej
$\displaystyle{ w(x) = (x-x_1)(x-x_2)...}$
otrzymamy same współczynniki dodatnie.
Współczynnik
$\displaystyle{ a_n=1}$.
Z tezy współczynnik

$\displaystyle{ a_{n-1}= \sum_i {|x_i|} \le a_n= 1}$.

Kolejne współczynniki to sumy iloczynów kombinacji 2,3...n pierwiastków.
Wystarczy zauważyć że iloczyny te przy zachowaniu ostatniej nierówności
wystarczająco szybko maleją i ich suma nie może wzrosnąć.

A skąd niby wziąłes tę nierówność?

Teza brzmi, że w ciągu współczynników nie może wystąpić "dołek" $\displaystyle{ a_{i-1}\searrow a_n\nearrow a_{i+1}}$

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 8 sty 2017, o 21:42

To mi się wszystko nie podoba.
Może mi ktoś wytłumaczy o to o co chodzi w tezie bo w moim pojęciu rzeczywistości teza wygląda tak jak ją rozpisałem a więc jest fałszywa i tyle!!!!!

Dla mnie albo współczynniki rosną albo maleją według tej tezy a wy tu wypisujecie dyrdymały.

Albo ja jestem pijany albo wy.

(I nawet nie zaprzeczę)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 9 sty 2017, o 09:22

arek1357 pisze:To mi się wszystko nie podoba.
Może mi ktoś wytłumaczy o to o co chodzi w tezie bo w moim pojęciu rzeczywistości teza wygląda tak jak ją rozpisałem a więc jest fałszywa i tyle!!!!!

Masz więc błędne pojęcie o tym, co zostało napisane. A zostało napisane klarownie.

Mój niekrótki komentarz:

Ciekawy fakt. Pobierze poszukiwania nie dały pozytywnego wyniku. Mimo to przypuszczam, że elementarność wyniku sprawia, że nie jesteś pierwszą osobą, która to odkryła.

Dowód jest według mnie mało czytelny (jest dużo niepotrzebnych obiektów, które tylko utrudniają wydobycie esencji), ale samo twierdzenie jest poprawne.

Równoważnie można je sformułować następująco:

Jeżeli wielomian jest postaci

$\displaystyle{ w(x)=(x+x_1)\cdot\ldots\cdot (x+x_n)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0,}$

gdzie $\displaystyle{ x_i\geq 0}$ dla wszystkich $\displaystyle{ i}$,

to ciąg współczynników jest albo niemalejący, albo najpierw niemalejący i od pewnego miejsca nierosnący.

Przy takim sformułowaniu zacząłem robić dowód indukcyjny i poszło całkiem sprawnie. Pierwszy krok indukcyjny (jednomiany) pomijam.

Załóżmy, że teza jest prawdziwa dla wielomianu stopnia $\displaystyle{ n-1}$. Wezmę tylko jeden przypadek, drugi zostawiam jako ćwiczenie Niech zatem $\displaystyle{ a_{n-1}\leq a_{n-2}\leq \ldots \leq a_1\leq a_0}$ oraz $\displaystyle{ c\geq 0}$. Wtedy

$\displaystyle{ (x+c)(a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0)=\\
\\
=a_{n-1}x^n+(a_{n-2}+ca_{n-1})x^{n-1}+\ldots+(a_0+ca_1)x+a_0c}$.

Teraz z założenia indukcyjnego mamy ciąg nierówności:

$\displaystyle{ a_{n-1}\leq a_{n-2}\leq a_{n-2}+ca_{n-1}\leq a_{n-3}+ca_{n-2}\leq \ldots\leq a_{0}+ca_{1}}$

Pozostaje jeszcze związek między $\displaystyle{ a_0+ca_1}$ oraz $\displaystyle{ ca_1}$. Ale nie jest to ważne, gdyż teza dopuszcza obie nierówności.

Jak pisałem, jest drugi przypadek - istnieje pewne $\displaystyle{ k\leq n-1}$ takie, że

$\displaystyle{ a_{n-1}\leq\ldots \leq a_{k+1}\leq a_k\geq a_{k-1}\geq a_{k-2}\geq\ldots\geq a_1\geq a_0}$.

Dowód jest praktycznie taki sam, trzeba jedynie uważać na zmianę monotoniczności współczynników.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 9 sty 2017, o 09:53

Czyli współczynniki są albo rosnące albo malejące tak czy nie?

A jeśli nie to co

Bardzo proszę o klarowną odpowiedź.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 sty 2017, o 11:50

A jeśli nie, to najpierw rosną a potem maleją $\displaystyle{ x^$+2x+1}$