Udowodnij że wielomian ma co najmniej dwa pierwiastki.

[chadohyun]

1. Udowodnij, że dla każdej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)[x^{2}-(2p+1)x-2p^{2}]}\) ma co najmniej dwa pierwiastki.
b) Wyznacz tę wartość parametru \(\displaystyle{ p}\), dla której wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny.

No to mamy pierwszy pierwiastek \(\displaystyle{ 3}\), z drugiej części wyznaczamy deltę - ma być większa/równa \(\displaystyle{ 0}\): \(\displaystyle{ \Delta = 4p^{2}+4p+1+8p^{2} = 12p^{2}+4p+1}\)
Liczę \(\displaystyle{ \Delta_{p} = 16-48 < 0, a>0}\)
Na tym etapie wiadomo, że dla każdego \(\displaystyle{ p}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta > 0}\), więc wielomian musi mieć trzy pierwiastki, albo dwa, z czego jeden dwukrotnie występuje.

Podpunkt b -

Pierwiastek dwukrotny? Szczerze nie wiem o co chodzi, ale podstawiłem \(\displaystyle{ 3}\) do drugiej części wielomianu i wychodzi: \(\displaystyle{ -2p^{2}-6p+6}\), obliczam deltę, wyszła \(\displaystyle{ 84}\). Tutaj zrezygnowałem.

Proszę o pomoc, jak powinno być.

[a4karo]

Trojmian nie musi mieć podwójnego pierwiastka. Ale przecież może mieć pierwiastek równy \(\displaystyle{ 3}\).