Dowód na podzielność wielomianu

cbias · Post autor: **cbias** » 1 sty 2017, o 18:14

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n wielomian \(\displaystyle{ W(x) = nx ^{n+1} - (n+1)x ^{n} +1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1) ^{2}}\) .

Kaf · Post autor: **Kaf** » 1 sty 2017, o 18:21

Wskazówka: podstaw jedynkę do \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ W'(x)}\).

TheBill · Post autor: **TheBill** » 3 sty 2017, o 12:20

Jeżeli w zadaniu byłoby \(\displaystyle{ (x-1)}\), to wiem, że \(\displaystyle{ W(1)}\) musi być \(\displaystyle{ 0}\), bo tw. Bezouta.

Jaka własność/twierdzenie pochodnych, odnośnie krotności pierwiastków tutaj zastosowano?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 3 sty 2017, o 12:59

W skrócie na przykładzie pierwiastka dwukrotnego (wtedy \(\displaystyle{ W''(pierwiastek)\neq0}\))

Masz jakiś \(\displaystyle{ W(x)}\) (odpowiedniego stopnia); jeśli dzieli się przez \(\displaystyle{ (ax-b)^2}\) to mamy

\(\displaystyle{ W(x)=(ax-b)^2\cdot Q(x)}\)

Policzmy \(\displaystyle{ W'(x)=(2a^2 x-2ab)\cdot Q(x)+(ax-b)^2\cdot Q'(x)}\)

\(\displaystyle{ W'(x)=(ax-b)\left [ 2aQ(x)+(ax-b)Q'(x)\right ]}\)

Ps. Było tu (wielokrotnie) opisane - i to bardziej ogólnie.