Równania i nierówności pierwiastkowe

[Mr Krzysio]

Witam,
Nie wiem jak zrobić poniższe przykłady. Czy powinienem to podnieść to kwadratu, co zrobić ze znakiem?

\(\displaystyle{ a) x + 2 < \sqrt{x + 14}}\)

\(\displaystyle{ b) \sqrt{x-2} < 8 - x}\)

I jeszcze takie równanie:

\(\displaystyle{ c) x^{2} + x - 2\sqrt{x^{2} + x - 2} - 5 = 0}\)

Dziękuję za pomoc.

[kmarciniak1]

a)
\(\displaystyle{ x + 2 < \sqrt{x + 14}}\)
Dziedzina:\(\displaystyle{ x \in \left\langle -14, \infty\right)}\)

I przypadek:
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -2, \infty\right)}\)
Obie strony dodatnie więc możesz podnieść do kwadratu
Po przekształceniach
\(\displaystyle{ x ^{2}+3x-10<0}\)
Rozwiązaniem w tym przedziale są
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -2,2)}\)

II przypadek
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,-2\right)}\)
Lewa strona jest ujemna a prawa nieujemna, a więc rozwiązaniem są wszystkie liczby z przedziału(oczywiście uwzględniając dziedzinę )
Czyli wychodzi
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -14,-2\right)}\)

łącząc przypadki rozwiązaniem są:
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -14,2\right)}\)

b)
Możesz bez przeszkód podnosić do kwadratu gdyż rozwiązania będą tylko wtedy gdy obie strony są nieujemne.

[kerajs]

Rozwiązanie alternatywne

a)
\(\displaystyle{ x + 2 < \sqrt{x + 14}}\)
zał: \(\displaystyle{ x+14 \ge 0 \Rightarrow x \ge -14}\)
\(\displaystyle{ x + 14-12 < \sqrt{x + 14}}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{x + 14})^2-12 < \sqrt{x + 14}}\)
\(\displaystyle{ t=\sqrt{x + 14}\\
t^2-t-12<0\\
(t-4)(t+3)<0\\
-3<t<4\\
-3<\sqrt{x + 14}<4\\
\sqrt{x + 14}<4\\
x+14<16\\
x<2}\)
Porównując rozwiązanie z założeniem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x<2 \\ x \ge -14 \end{cases}}\)
Odp:
\(\displaystyle{ -14 \le x<2}\)


b)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-2} < 8 - x}\)
zał: ....
\(\displaystyle{ \sqrt{x-2}<6-(\sqrt{x-2})^2}\)
.....


c)
\(\displaystyle{ x^{2} + x - 2\sqrt{x^{2} + x - 2} - 5 = 0}\)
Zał: ...
\(\displaystyle{ (\sqrt{x^{2} + x - 2})^2-2\sqrt{x^{2} + x - 2}-3=0}\)
......