jak obliczyć wielomian u(x)=w(-x)

[Robert Rydwelski]

Mam następujący problem z wielomianem (wielomian i próba rozwiązania w załączniku).

Dany jest wykres wielomianu \(\displaystyle{ w}\) trzeciego stopnia.

Naszkicuj wykres wielomianu \(\displaystyle{ u(x)=w(-x)}\) i zapisz jego wzór w postaci :
\(\displaystyle{ a _{3}x^{3}+a _{2}x^{2}+a _{1}x +a _{0}}\)

jak dla mnie wielomian z zadania ma wartość :

\(\displaystyle{ w\left( x\right) =\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

wielomian \(\displaystyle{ h\left( x\right)=- \frac{1}{4}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{2}+x-1}\) jest odpowiedzią do której nie mogę dojść.

\(\displaystyle{ u\left( x\right) =w\left( -x\right)}\) dlaczego na wykresie \(\displaystyle{ u\left( x\right) \neq h\left( x\right)}\)

jak obliczyć wielomian \(\displaystyle{ u\left( x\right)}\) (czy to wielomian odwrotny, czy przeciwny, czy jeszcze inaczej się nazywa?).




pozdrawiam licząc na pomoc

Robert

[Jan Kraszewski]

jak dla mnie wielomian z zadania ma wartość :

\(\displaystyle{ w\left( x\right) =\left( x+3\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

Pomijając już fakt, że nie mamy żadnej pewności, iż to jedyne miejsca zerowe tego wielomianu (podobny błąd popełnili kiedyś autorzy zadania maturalnego), to - zakładając, że to jednak wielomian trzeciego stopnia - na podstawie miejsc zerowych możesz stwierdzić tylko, że

\(\displaystyle{ w\left( x\right) =a\left( x+\red{2}\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ a>0}\) (pomyliłeś też jedno miejsce zerowe). Współczynnik \(\displaystyle{ a}\) możesz wyznaczyć korzystając z tego, że \(\displaystyle{ w(0)=-1}\). I nie będzie to \(\displaystyle{ 1}\)...

JK

[Robert Rydwelski]

jak dla mnie wielomian z zadania ma wartość :

(pomyliłeś też jedno miejsce zerowe).
JK

tak przepalcowałem się przy wpisywaniu, już poprawiłem.

[Jan Kraszewski]

No to czas współczynnik \(\displaystyle{ a}\) wyznaczyć.

JK

[Robert Rydwelski]

ok zaskoczyłem

czyli :

\(\displaystyle{ x=0; w(x)=-1}\)

\(\displaystyle{ w\left( x\right) =a\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{-1}{\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}= \frac{1}{4}}\)

czyli wielomian z wykresu ma wartość :

\(\displaystyle{ w\left( x\right) = \frac{1}{4}\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

I teraz druga część zadania. Czy wystarczy pozamieniać symetrycznie pierwiastki ?

\(\displaystyle{ u(x)=w(-x)}\)

\(\displaystyle{ u\left( x\right) =- \frac{1}{4} \left( x-2\right) \left( x-1\right) \left( x+2\right)=- \frac{1}{4}x ^{3}+ \frac{1}{4}x ^{2}+x-1}\)

[Jan Kraszewski]

Dobrze.

JK

[a4karo]

ok zaskoczyłem

czyli :

\(\displaystyle{ x=0; w(x)=-1}\)

\(\displaystyle{ w\left( x\right) =a\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{-1}{\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}= \frac{1}{4}}\)

czyli wielomian z wykresu ma wartość :

\(\displaystyle{ w\left( x\right) = \frac{1}{4}\left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right)}\)

I teraz druga część zadania. Czy wystarczy pozamieniać symetrycznie pierwiastki ?

\(\displaystyle{ u(x)=w(-x)}\)

\(\displaystyle{ u\left( x\right) =- \frac{1}{4} \left( x-2\right) \left( x-1\right) \left( x+2\right)=- \frac{1}{4}x ^{3}+ \frac{1}{4}x ^{2}+x-1}\)

A jeżeli tylko pozmieniałes symetrycznie pierwiastki, to jakie jest uzasadnienie dla minusa z przodu?

[Robert Rydwelski]

no żeby wielomian miał przebieg "ku minusom", żeby \(\displaystyle{ a<0}\)

jest jakiś schemat postępowania żeby "na oko" pod odpowiedź nie dopasowywać ?

[Jan Kraszewski]

Algebraicznie: podstawiasz \(\displaystyle{ -x}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\) i masz \(\displaystyle{ w\left( -x\right) = \frac{1}{4}\left( -x+2\right) \left( -x+1\right) \left( -x-2\right)}\), a potem przekształcasz/porządkujesz.
Geometrycznie: zauważasz, że wykres funkcji \(\displaystyle{ w(-x)}\) powstaje w wyniku odbicia wykresu funkcji \(\displaystyle{ w(x)}\) względem osi \(\displaystyle{ OY}\).

JK

[Robert Rydwelski]

dzięki