pierwiastki niewymierne

avka · Post autor: **avka** » 15 gru 2016, o 21:22

Jak namierzyć dwa niewymierne pierwiastki wielomianu 3 stopnia?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 gru 2016, o 21:24

Podaj ten wielomian.

avka · Post autor: **avka** » 15 gru 2016, o 21:30

\(\displaystyle{ x^{3} - 5x^{2} - 4x + 2}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 gru 2016, o 21:33

Najpierw zgadnij, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem wymiernym. Potem przedstaw ten wielomian w postaci \(\displaystyle{ (x+1)(x^2-6x+2)}\). Wreszcie przelicz deltę (można też sprowadzić do postaci kanonicznej i zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów).

avka · Post autor: **avka** » 15 gru 2016, o 21:39

Aaa, no tak próbowałam tu korzystać z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, ale widocznie to nie tędy droga. Dziękuję bardzo

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 gru 2016, o 21:41

Tędy - bo właśnie tak znajdujesz pierwszy pierwiastek.

avka · Post autor: **avka** » 15 gru 2016, o 21:44

Racja, racja ale całego zadania tym nie zrobię i tu tkwił kłopot.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 31 gru 2016, o 17:09

piasek nie dodał że nie zawsze znajdzie tą metodą
Najpierw rugujemy wyraz z \(\displaystyle{ x^2}\) - tutaj wzory skróconego mnożenia będą przydatne
Następnie zakładamy że pierwiastek jest sumą dwóch składników i wstawiamy to do równania .
Grupujemy wyrazy w otrzymanym równaniu i zapisujemy w postaci układu równań
Układ równań przekształcamy tak aby był wzorami Vieta dla pewnego trójmianu kwadratowego
Jeśli otrzymane równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych to możemy
rozwiązywać je dalej jeżeli znamy zespolone
Jeżeli nie znamy zespolonych to wracamy do równania z wyrugowanym wyrazem z \(\displaystyle{ x^2}\)
i korzystamy z trygonometrii