Najmniejsza wartość funkcji w przedziale

johny4melony · Post autor: **johny4melony** » 4 gru 2016, o 00:17

Najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^3-147x-35}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0,140]}\) jest osiągana w \(\displaystyle{ x =}\)

Ma wyjść 7

Premislav · Post autor: **Premislav** » 4 gru 2016, o 00:19

Wystarczy policzyć pochodną, sprawdzić, gdzie w tym przedziale się ona zeruje, i porównać wartość funkcji w punkcie, w którym to następuje z wartościami funkcji na krańcach przedziału - najmniejsza z tych liczb to właśnie minimum w przedziale.
Po niezwykle trudnych obliczeniach otrzymujemy \(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-147=3(x^2-49)\dots}\)-- 4 gru 2016, o 00:20 --Co więcej, jest jeszcze prościej: zauważmy, że znak pierwszej pochodnej w \(\displaystyle{ (0,7)}\) jest ujemny, a dla \(\displaystyle{ x>7}\) jest dodatni, więc minimum jest w...

johny4melony · Post autor: **johny4melony** » 4 gru 2016, o 01:10

\(\displaystyle{ f(x)=x^3-147x-35}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-147}\)

\(\displaystyle{ x_1{}=7 , x_2{}=-7}\)

Nie wiem, mam podstawić 7 pod x ? \(\displaystyle{ f(7)=3*49-147=0}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 4 gru 2016, o 01:13

Nie \(\displaystyle{ f(7)=0}\), tylko \(\displaystyle{ f'(7)=0,}\) reszta OK.
Dalej wystarczy wyciągnąć wniosek, o którym pisałem.

johny4melony · Post autor: **johny4melony** » 4 gru 2016, o 02:14

Nie do końca rozumiem, mogę dodać jeszcze przykład dla pewności ?

\(\displaystyle{ f(x)=x^3-48x-20}\) w przedziale \(\displaystyle{ [8,80]}\) szukam najmniejszej wartości w x
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-48}\)
\(\displaystyle{ x_1{} =4, x_2{}=-4}\)
\(\displaystyle{ f'(4)=3*16-48=0}\) i co dalej ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 4 gru 2016, o 02:56

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej jest zerowanie się pierwszej pochodnej. Tutaj miejsca zerowe pierwszej pochodnej wypadają poza przedziałem
\(\displaystyle{ [8,80]}\), który rozważamy, więc wystarczy porównać \(\displaystyle{ f(8)}\) z \(\displaystyle{ f(80)}\) (tj. dla punktów krańcowych) - mniejsza z tych wartości to najmniejsza wartość \(\displaystyle{ f}\) na przedziale.

A nawet wystarczy zauważyć, że pochodna jest tu dodatnia dla \(\displaystyle{ x>4}\), więc funkcja jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ [8,80]}\). Czyli jej najmniejsza wartość w tym przedziale to \(\displaystyle{ f(8)}\).

Doucz się proszę zupełnych podstaw teorii, może przejrzyj notatki z wykładu czy coś, bo widać, że zupełnie się w tym gubisz, najwyraźniej w ogóle nie wiesz, o czym nam mówi pierwsza pochodna i jej znak. Jeśli studiujesz kierunek techniczny, to wystarczy Krysicki i Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach