Różnica wielomianów

[Moniak137]

Pokazać, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

[Slup]

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ F(x)}\). Niech \(\displaystyle{ f(x)=F'(x)}\) będzie jego pochodną. Oczywiście \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ \mathrm{deg}(F)-1}\). Teraz korzystamy z tego, że każdy wielomian \(\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{R}[x]}\) ma postać
\(\displaystyle{ f(x)=(P^2(x)+1)-(Q^2(x)+1)}\) dla \(\displaystyle{ P(x),Q(x)\in \mathbb{R}[x]}\)
Stąd
\(\displaystyle{ F(x)=\int^x_0f(s)ds+F(0)=\left(\int^x_0(P^2(s)+1)ds+F(0)\right)-\left(\int^x_0(Q^2(s)+1)ds\right)}\)
Oczywiście te dwie funkcje w nawiasach to rosnące wielomiany.

[a4karo]

Trudnośc została przerzucona na udowodnienie faktu, że

każdy wielomian\(\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{R}[x]}\) ma postać
\(\displaystyle{ f(x)=(P^2(x)+1)-(Q^2(x)+1)}\) dla \(\displaystyle{ P(x),Q(x)\in \mathbb{R}[x]}\)

,
który wcale nie jest oczywisty

[Slup]

Niech \(\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{R}[x]}\). Powiemy, że \(\displaystyle{ (\star)}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ f(x)}\), jeżeli istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P(x), Q(x)\in \mathbb{R}[x]}\) takie, że
\(\displaystyle{ f(x)=P^2(x)-Q^2(x)}\)

(1) Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ (\star)}\) zachodzi dla wielomianów o stopniach \(\displaystyle{ 0,1,2}\)

(2) Pokażemy, że jeśli \(\displaystyle{ (\star)}\) zachodzi dla \(\displaystyle{ f_1(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f_2(x)}\), to zachodzi też dla \(\displaystyle{ f_1(x)\cdot f_2(x)}\)
dowód. Mamy
\(\displaystyle{ f_i(x)=P_i^2(x)-Q_i^2(x)}\)
dla \(\displaystyle{ i=1,2}\). Zatem
\(\displaystyle{ f_1(x)\cdot f_2(x)=\left(P_1(x)P_2(x)+Q_1(x)Q_2(x)\right)^2-\left(P_1(x)Q_2(x)+P_2(x)Q_1(x)\right)^2}\)

(3) Każdy wielomian \(\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{R}[x]}\) rozkłada się w tym pierścieniu na iloczyn wielomianów o stopniach \(\displaystyle{ 0,1,2}\)

Z (1), (2), (3) wynika, że \(\displaystyle{ (\star)}\) zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ f(x)\in \mathbb{R}[x]}\).