Wielomian z trzema pierwiastkami.

[SciTuber]

Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) będą różnymi pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ W(x) = (m+3)x^{3} - (m-5)x^{2} - (m - 5)x + m + 3}\)

Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) wyrażenie \(\displaystyle{ (m+3)^{2}(x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} + (x_{3})^{2} + 6 )}\) przyjmuje namniejszą wartość?

[kerajs]

\(\displaystyle{ W(x) = (m+3)x^{3} - (m-5)x^{2} - (m - 5)x + m + 3=\\=(m+3)(x^3+1)-(m-5)(x^2+x)=\\=(x+1)\left[ (m+3)(x^2-x+1)-(m-5)x\right] =(x+1)\left[ (m+3)x^2+(-2m+2)x+(m+3)\right]}\)
Dalej potrafisz?

PS
Popraw minimalizowane wyrażenie gdyż nawiasy się nie zgadzają.

[SciTuber]

\(\displaystyle{ W(x) = (m+3)x^{3} - (m-5)x^{2} - (m - 5)x + m + 3=\\=(m+3)(x^3+1)-(m-5)(x^2+x)=\\=(x+1)\left[ (m+3)(x^2-x+1)-(m-5)x\right] =(x+1)\left[ (m+3)x^2+(-2m+2)x+(m+3)\right]}\)
Dalej potrafisz?

PS
Popraw minimalizowane wyrażenie gdyż nawiasy się nie zgadzają.

Proszę o dalszą pomoc.

[kerajs]

Zakładam, gdyż go nie poprawiłeś, że optymalizowane jest wyrażenie:
\(\displaystyle{ w=(m+3)^{2}((x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} + (x_{3})^{2} + 6 )=...}\)
które dzięki znajomości niezależnego od \(\displaystyle{ m}\) pierwiastka \(\displaystyle{ x=-1}\) upraszcza się do:
\(\displaystyle{ ...=(m+3)\left[ x_1^2+x_2^2+(-1)^2+6\right]=(m+3)\left[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+7\right]=...}\)
Przy założeniach:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m+3 \neq 0 \\ \Delta=(-2m+2)^2-4(m+3)^2 \ge 0 \end{cases}}\)
następuje dalsze uproszczenie:
\(\displaystyle{ ...=(m+3)\left[ ( \frac{2m-2}{m+3} )^2-2 \frac{m+3}{m+3}+7 \right]= \frac{(2m-2)^2}{m+3}+5(m+3)}\)

Dzięki tym przekształceniom masz teraz prostsze zadanie:
Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ w= \frac{(2m-2)^2}{m+3}+5(m+3)}\)
dla \(\displaystyle{ m \le -1 \wedge m \neq -3}\)

[kinia7]

Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ w= \frac{(2m-2)^2}{m+3}+5(m+3)}\)
dla \(\displaystyle{ m \le -1 \wedge m \neq -3}\)

Z tego \(\displaystyle{ w}\) jest najmniejsze dla \(\displaystyle{ m=-\frac13}\)

a mnie wychodzi rozwiązanie \(\displaystyle{ m=-\frac{11}{9}}\)

[Zahion]

Czy przy \(\displaystyle{ m + 3}\) nie uciekł kwadrat ?

[kerajs]

Zakładam, gdyż go nie poprawiłeś, że optymalizowane jest wyrażenie:
Dzięki Zahion.
Okazuje się, że gubiłem kwadrat który jeszcze bardziej upraszcza rozwiązanie.

Powinno być:
\(\displaystyle{ w=(m+3)^{2}((x_{1})^{2} + (x_{2})^{2} + (x_{3})^{2} + 6 )=(m+3)^2\left[ x_1^2+x_2^2+(-1)^2+6\right]=\\=(m+3)^2\left[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+7\right]=
(m+3)^2\left[ ( \frac{2m-2}{m+3} )^2-2 \frac{m+3}{m+3}+7 \right]=\\ =(2m-2)^2}+5(m+3)^2=9m^2+22m+49}\)

Oraz:
Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ w= 9m^2+22m+49}\)
dla \(\displaystyle{ m \le -1 \wedge m \neq -3}\)

co daje wynik sugerowany przez Kinia7